Adivinando el otro número del dado, dado que se lanzaron dos dados y uno de ellos cayó en un 3.

Question

Una discusión que tuve con un amigo siguió esta pregunta: "Si se lanzan dos dados, y uno de ellos saca un 3. ¿En qué apostarías que sacó el otro dado?"

La formulación es simplemente para resaltar que podría haber algún número que tenga una probabilidad más alta de salir en el otro dado. Uno de nosotros dijo que como el 7 es el número más probable de ser sacado por dos dados, entonces el 4 debería ser la respuesta. El otro dijo que una vez que se obtuvo el 3 en un dado, no deberíamos estar considerando nada más que al otro cubo, por lo que cualquier número sería una suposición igual.

Answer 1

Este tipo de pregunta es muy sensible a cómo decide el rodillo qué decir. Tal vez los dados son de colores diferentes y te dirá el número en el dado verde. No sabes nada sobre el otro dado, por lo que todos los números son igualmente probables. Tal vez te dirá el número más alto. Ahora las únicas tiradas posibles son $13,23,33,31,32$, por lo que deberías apostar por $1$ o $2$. Tal vez elija un dado al azar y te diga el número en él. Ahora podría haber sacado $33$ y verse obligado a decir $3$ o haber sacado $3x$ o $x3$ y elegido decir $3$. Tienes la misma probabilidad de $x$ que de $3$ para el otro dado, así que apuesta por lo que quieras. Si no sabes cómo el rodillo elige qué decir, no es una pregunta matemática. No hay suficiente información para responder.

Answer 2

Ross Millikan tiene razón al decir que esto depende de cosas que suceden detrás de escena. Sin embargo, la pregunta está formulada de manera similar a la paradoja del niño o niña, por lo que si la interpretamos de esa manera:

Suponiendo que te dijeran "Lancé dos dados justos. Uno de los dados fue un 3." y no hay razón para creer que hubo alguna presión particular para informar sobre un lanzamiento en particular, entonces:

Hay 36 posibles lanzamientos de dos dados, de los cuales 11 tienen un 3 como uno de los lanzamientos:

$$(1, 3)\ (2, 3)\ (3, 3)\ (4, 3)\ (5, 3)\ (6, 3)\\ (3, 1)\ (3, 2)\ (3, 4)\ (3, 5)\ (3, 6)$$

Cada uno de estos lanzamientos es igualmente probable, es decir, tiene una probabilidad de $\frac{1}{11}$. Por lo tanto, la probabilidad de que el dado no informado sea un 3 es $\frac{1}{11}$ (ya que solo hay un par (3, 3)), mientras que la probabilidad para cualquier otro lanzamiento es $\frac{2}{11}$ (ya que, por ejemplo, hay tanto (3, 1) como (1, 3)). Por lo tanto, deberías elegir cualquier número que no sea 3 para tener el doble de probabilidades de tener razón.

Answer 3

Ross ha proporcionado una respuesta interesante que destaca las sutilezas de deducir probabilidades a partir de lo que alguien te dice, donde necesitas tener en cuenta cómo decidieron qué decirte.

ConMan ha dado una respuesta que considera equiprobables los $11$ resultados que contienen un $3$, pero lo hace de nuevo en el paradigma de alguien reportando el resultado, y en mi opinión no explica adecuadamente cómo se debe interpretar el reporte.

Observo que tu pregunta en realidad no menciona a nadie informando sobre el resultado; simplemente escribes "y uno de ellos sacó un $3$".

Eso nos permite dar una interpretación completamente objetiva a la pregunta, libre de las sutilezas de las decisiones de las personas que informan resultados: ¿Cuál es la distribución de probabilidad condicional para "el otro dado", condicional al evento de que al menos un dado muestre un $3$? Para que esta interpretación esté bien definida, necesitamos definir qué significa "el otro dado", pero es lo suficientemente claro intuitivamente: Si hay un no-$3$, es el no-$3$, y de lo contrario es uno de los $3$ (no importa cuál); alternativamente, podríamos definir su valor como la suma de los dados menos $3$ (con la ventaja de que esto define una variable aleatoria en todos los casos, no solo cuando hay un $3$).

Entonces, si dejamos que $X$ denote el valor de "el otro dado" y $T$ denote el evento de que al menos un dado muestre un $3$, tenemos

$$ \mathsf P(X=3\mid T)=\frac{\mathsf P(X=3\cap T)}{\mathsf P(T)}=\frac{\frac1{36}}{\frac{11}{36}}=\frac1{11}\;, $$

y para $x\ne3$ tenemos

$$ \mathsf P(X=x\mid T)=\frac{\mathsf P(X=x\cap T)}{\mathsf P(T)}=\frac{\frac2{36}}{\frac{11}{36}}=\frac2{11}\;. $$

Por lo tanto, bajo esta interpretación de la pregunta, deberías apostar por cualquier número que no sea $3$.

En el paradigma de reportar, el escenario correspondiente sería que acuerdas de antemano que la persona que lanza los dados te dirá si hay al menos un $3$, por lo que la persona no tiene decisiones que tomar sobre qué reportar.

Answer 4

El resultado de lanzar un dado no afecta el resultado de lanzar el segundo dado. Las posibilidades de obtener un 1, 2, 3, 4, 5 o 6 en el segundo dado son todas iguales.

Answer 5

Dado que su pregunta no menciona ningún criterio de selección o sesgo en los dados utilizados, la respuesta es claramente que no hay sesgo en los valores del segundo dado.

Cuando lanzas dos dados, hay 36 permutaciones posibles de respuestas que pueden surgir. Si el primer dado muestra un 3, entonces se eliminan todas las permutaciones que involucran al primer dado con cualquier otro valor. Has eliminado 30 permutaciones posibles y solo quedan 6 permutaciones posibles.

Esto se debe a que la probabilidad siempre se trata de lo que no sabes todavía, o lo que aún no ha sucedido. Lanza una moneda 9 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima vuelta sea cara? 50%. ¿Y si las 9 vueltas fueran caras? Aún es el mismo: 50%. Lanza 10 monedas juntas, mira las primeras 9. La décima todavía tiene un 50% de posibilidades de ser cara.

Y sí, la suma más común arrojada en dos dados es 7, con 6 de 36 permutaciones. 6 y 8 son 5/36 cada uno, 5 y 9 son 4/36 cada uno, y así sucesivamente. Pero eso solo es importante cuando tienes dos incógnitas. Cuando solo una es desconocida, entonces la probabilidad sigue siendo la misma. Puedes escribir fácilmente las permutaciones y contarlas para ver qué pasa.

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La respuesta de Ross Millikan agrega información adicional, pero es correcta cuando dice:

Tienes la misma oportunidad de $x$ que 3 para el otro dado, así que apuesta por lo que quieras.

La respuesta de ConMan, sin embargo, pasa por alto algo.

Si la selección de qué dado revelar es aleatoria, y el número revelado es 3, entonces de hecho hay 12 resultados posibles diferentes - 6 para cada dado no revelado - con 2 resultados cada uno para el número en el otro dado. Por lo tanto, cada número posible tiene exactamente 1/6 de probabilidad. Su respuesta de que solo hay 11 resultados posibles está ignorando el hecho de que el resultado [3,3] tendría dos chances de ser la permutación elegida.

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El gran problema es que nuestra intuición generalmente es bastante pobre para elegir la respuesta correcta aquí. Tendemos a mezclar situaciones donde las probabilidades cambian a medida que avanzamos - juegos de cartas, números de lotería, etc. - con aquellas donde no lo hacen. Tendemos a asumir que la probabilidad de un evento que sucedió ayer es la misma que sucederá mañana, y que las cosas que han sucedido afectan las cosas que ocurrirán independientemente de una falta de vínculos causales.

Los casinos sacan provecho de nosotros al cometer esos errores.