¿Por qué evitar la notación a trozos?

Question

A mucha gente vienen aquí preguntando, esencialmente, alguna variación de lo siguiente:

Sé cómo escribir una función a trozos que [hace algo]. ¿Cómo puedo escribir una función no segmentada que haga lo mismo?

En mi opinión, eso es como preguntar lo siguiente:

He escrito esta fórmula con rotulador rojo de pizarra. ¿Cómo puedo escribirla con un rotulador azul?

Probablemente tenga alguna utilidad hacer esto, dado que tanta gente lo pide, pero no tengo la menor idea de cuál es esa utilidad. La mayoría de las veces, hace que la función sea más larga y compleja, a menudo con alguna combinación de $(-1)^n$ La notación del valor absoluto y las funciones periódicas como el seno y el coseno aparecen. No veo la utilidad de estos términos adicionales en la mayoría de los casos. Oscurecen el propósito central y el comportamiento de la función.

¿Para qué sirve reescribir una función para evitar la notación a trozos? ¿En qué contextos te ayuda a razonar sobre la función?

Answer 1

1. Una sola expresión suele ser más compacta.
2. Piensan que es matemáticamente más correcto tener una única expresión.
3. Piensan que es más fácil tomar derivadas o antiderivadas de una misma expresión.

Answer 2

En ocasiones, es útil interpolar una función de valor discreto utilizando algún tipo de función diferenciable, de modo que, digamos, la función pueda optimizarse utilizando el descenso de gradiente. Pero, por lo demás, estas preguntas provienen básicamente de personas que sólo sienten curiosidad, o de estudiantes equivocados que piensan que las funciones de valor discreto "no cuentan" como fórmulas matemáticas, básicamente por los hábitos que les han inculcado en la escuela.