Demuestre que si alguna base puede mostrarse como una combinación lineal, entonces los vectores en combinación lineal son independientes de forma lineal

Question

Deje $Bs=\{e_1,e_2,...,e_n\}$ es la base estándar para $\mathbb R^{n}$. Si $x_1,x_2,...,x_n$ vectores del espacio $R^{n}$ tal que $e_i\in L(x_1,x_2,...,x_n)$, $i=1:n$ a continuación, establezca $\{x_1,x_2,...x_n\}$ es la base del espacio de $\mathbb R^{n}$?.

Mi respuesta es sí.

Primero escribo $\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+...+\alpha_ne_n=0$. Desde $e_i\in L(x_1,x_2,...,x_n)$ podemos escribir todos los vectores en la base de las $Bs$ como combinación lineal de a $\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Por ejemplo:

$\begin{matrix} e_1=a_{11}x_1+a_{21}x_2+...+a_{n1}x_n\\ e_2=a_{12}x_1+a_{22}x_2+...+a_{n2}x_n\\ .........................\\ e_n=a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+...+a_{nn}x_n \end{de la matriz}$

a continuación, $0=x1(\alpha_1a_{11}+\alpha_2a_{12}+...+\alpha_na_{1n})+x2(\alpha_1a_{21}+\alpha_2a_{22}+...+\alpha_na_{2n})+...+xn(\alpha_1a_{n1}+\alpha_2a_{n2}+...+\alpha_na_{nn})$

Si suponemos contrario que este vectores es lineal dependiente, entonces un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores, por ejemplo si utilizo $x_n$ escribir como combinación lineal, a continuación, $(\alpha_1a_{n1}+\alpha_2a_{n2}+...+\alpha_{nn}a_{1n})\not=0$ porque no podemos dividir algo con cero, si la ponemos a $(\alpha_10+\alpha_20+...+\alpha_na_{nn})\not=0$$\alpha_n \not=0$, así que ahora tenemos $0e_1+0e_2+...+\alpha_ne_n=0$, $e_n=0$ pero no es cierto, por lo $ L(x_1,x_2,...,x_n)$ es la base de la $\mathbb R^n$, es correcto esto?

Answer 1

No entiendo cómo te mueves desde $ (\ alpha_1a_ ​​{n1} + \ alpha_2a_ {n2} + ... + \ alpha_ {nn} a_ {1n}) \ not = 0$ to $ (\ alpha_1 0 + \ alpha_2 0 + ... + \ alpha_ {nn} a_ {1n}) \ not = 0 $?

Sin embargo, usaría la prueba a continuación.

Otra prueba

$(x_1,\dots,x_n)$ abarca$(e_1,\dots,e_n)$ y, por lo tanto, abarca$\mathbb R^n$. Como$(x_1,\dots,x_n)$ tiene$n$ elementos,$(x_1,\dots,x_n)$ es una familia mínima de vectores que abarca$\mathbb R^n$. Por lo tanto,$(x_1,\dots,x_n)$ es linealmente independiente y es una base.