Elementos nilpotentes de grupo álgebra $\Bbb CG$

Question

Objetivo: explícitamente encontrar un nilpotent elemento del grupo de álgebra $\Bbb C G$ para un grupo finito $G$. Esto existe si y sólo si $G$ no es abelian por el teorema de Maschke y Wedderburn-Artin.

Por el teorema de Maschke, el grupo de álgebra $\Bbb C G$ es semisimple para finitos $G$. Así que para cualquier no-grupo abelian $G$, hay un trivial Wedderburn componente, y por lo tanto nilpotent elementos.

Tome $G=D_{8}$, el diedro del grupo o de la orden de $8$. A continuación, $G$ no es abelian y sabemos que las representaciones irreducibles tienen dimensiones $1,1,1,1$, e $2$. Así $$\Bbb C G\cong \Bbb C^{\oplus 4}\oplus M_2(\Bbb C)$$ y bajo este mapa hemos nilpotent elementos como $$\left(0,0,\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \right).$$

En teoría, entonces, debemos ser capaces de encontrar nilpotent elementos en $\Bbb C G$. Sabemos que existen, pero no sabemos la correspondencia real $\Bbb C G\tilde \to \Bbb C^{\oplus 4}\oplus M_2(\Bbb C)$.

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Mi única plomo: no es un resultado conocido que podemos utilizar para calcular central primitivo idempotents. Para $D_8$, con la presentación

$$D_8=\langle a,b: a^4=b^2=abab=1\rangle,$$ el elemento correspondiente a la $2\times 2$ matriz identidad (es decir, el elemento $(0,0,\text{Id}_2)$), es $$\frac{1}{2}(1-a^2).$$

Pero esto no es muy útil, y me sigue sin tener pistas sobre cómo conseguir el elemento $\left(0,0,\begin{pmatrix}0,& 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\right)$ por ejemplo.

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He hecho todo el trabajo de adivinar que puedo. Para el caso de $G=D_8$, un nilpotent debe plaza de a $0$, por lo que he comprobado los elementos de la forma $\sum_{G}^8c_ig$ $c_i\in\{-3,-2,1,0,1,2,3\}$ sin suerte. Si no hay "fácil" nilpotent elementos, a continuación, voy a necesitar para obtener más inteligente con la búsqueda.

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Nota: no hay nada especial acerca de la $D_8$. Acabo de leerla porque la representación bidimensional fue fácil para empezar a jugar con la mano en el primer lugar.

Answer 1

Usted puede obtener mucha más información de verdad en lo que el 2-dimensional es la representación explícita. Es habitual que la acción de $D_8$ como simetrías de un cuadrado, por lo $a$ se asigna a la matriz $A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $b$ mapas a $B=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Ahora podemos solo de violín a punto de encontrar una combinación de estas matrices que da $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$. En concreto, se han $$BA=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ so $$\frac{BA-A}{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.$$

Ahora bien, esto no nos dicen que $\frac{ba-a}{2}$ es nilpotent, solo que su imagen en 2 dimensiones de la representación es nilpotent. Podemos eliminar su imagen en las otras representaciones multiplicando por el idempotente $\frac{1-a^2}{2}$ el que se encuentra. Así, llegamos a la conclusión de que $$\frac{ba-a}{2}\cdot\frac{1-a^2}{2}$$ is a nontrivial nilpotent element of $\mathbb{C}D_8$.

Sólo para comprobar, podemos plaza: $$\begin{align*} \left(\frac{ba-a}{2}\cdot\frac{1-a^2}{2}\right)^2 &= \left(\frac{ba-a}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1-a^2}{2}\right)^2 \\ &=\frac{baba-ba^2-aba+a^2}{4}\cdot \frac{1-a^2}{2} \\ &=\frac{1-ba^2-b+a^2}{4}\cdot \frac{1-a^2}{2} \\ &=\frac{1-a^2-ba^2+ba^4-b+ba^2+a^2-a^4}{8} \\ &=\frac{1-a^2-ba^2+b-b+ba^2+a^2-1}{8} \\ &= 0. \end{align*} $$

Answer 2

Sólo para dar más contexto.

Deje $G$ ser un grupo finito, y deje $H\le G$ ser un no-trivial de los subgrupos, lo cual no es normal. Entonces si $$ \alpha_H=\frac{1}{|H|}\sum h$$ se puede comprobar que $\alpha_H^2=\alpha_H$, y por lo tanto $(1-\alpha_H)\alpha_H=0$. Deje $g\in G$ ser tal que $g\notin N_G(H)$. Entonces tenemos $$ \alpha_Hg\neq\alpha_Hg\alpha_H $$ y así, si definimos $\beta_H=\alpha_Hg(1-\alpha_H)$, $\beta_H\neq0$ pero $\beta_H^2=0$.

Esto sólo funciona si podemos encontrar un no-normal subgrupo $H$. Los grupos finitos que tienen cada subgrupo normal son bien conocidos, y de los que no abelian queridos parecerse a $A\times Q_8$ donde $A$ es abelian y $Q_8$ es el grupo de cuaterniones. Para finalizar este argumento para todos los no-abelian grupos, ya que basta con exponer un nilpotent elemento en $\mathbb{C}Q_8$.

Voy a dejar esto para usted, sólo señalar que no se puede hacer en $\mathbb{Q}$, ya que el $\mathbb{Q}Q_8$ no tiene no trivial nilpotents. Pero se puede hacer más de $\mathbb{Q}(i)$.