Mecánica de Lagrange y derivados

Question

Yo realmente no sabía si poner esto en la Física de los foros, ya que está relacionada con la Mecánica, o de Matemáticas, ya que la pregunta es en realidad acerca de las matemáticas que se realiza. No me critican por encima.

Así que a la pregunta: me estaba haciendo un poco de repaso problemas sobre ecuaciones de Lagrange, KE+PE, y me encontré con este documento: http://wwwf.imperial.ac.uk/~pavl/ASHEET2.PDF

En la primera pregunta de la solución, el escritor diferencia sin explicar el paso. Tienen estas:

$$\begin{cases} x = r \sin(\theta) \cos(\phi)\\[5 pt] y = r \sin(\theta) \sin(\phi)\\[5 pt] z = r \cos(\theta) \end{casos} $$

y esto:

$$T = {m\over 2}(\dot x^2 +\dot y^2 +\dot z^2)$$

Nunca he estudiado el sistema de coordenadas esféricas mucho, y obviamente nunca pensé acerca de las derivadas de la conversión a coordenadas Cartesianas. Puede alguien encontrar o explicar el proceso de la toma de los derivados de las tres primeras ecuaciones, insertándose en la ecuación para la Energía Cinética, y la simplificación? Hay, probablemente, un diferente método de cálculo para el sistema de coordenadas, lo que no sé. Gracias!

EDIT: Mientras se hace tomando los derivados, fue el método utilizado en realidad una forma separada de más allá de cálculo I y II, o era normal de primer orden de la diferenciación? Si es así, ¿cómo? Aquí está la parte de los que estoy hablando:

Answer 1

Creo que esta pregunta pertenece a PSE! Pero sea como fuere, he aquí su respuesta: usted tiene que recordar que $\dot x$ es un completo derivado de la $x$ con respecto al tiempo. Ir a una nueva representación de $x$ en un nuevo sistema, como en el caso de $x(r,\theta,\phi)$ de las coordenadas esféricas, donde, y esto es importante, todas las coordenadas son funciones del tiempo $$r\equiv r(t)\\ \theta \equiv \theta(t) \\\phi\equiv\phi(t)$$ transforma el tiempo total, derivado de esta manera

$$ \dot x = \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}+\frac{\partial x}{\parcial \theta}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t}+\frac{\partial x}{\parcial \phi}\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm d t} \\ \dot x = \frac{\partial x}{\partial r}\dot r+\frac{\partial x}{\parcial \theta}\dot\theta+\frac{\partial x}{\parcial \phi}\dot\phi \\ \dot x = (\sin\theta\cos\phi)\dot r + (r\cos\theta\cos\phi)\dot\theta (r\sin\theta\sin\phi)\dot\phi $$

donde la última ecuación se evaluó a partir de la definición de $x=r\sin\theta\cos\phi$. Ahora mismo va para el resto de variables, lo que permite obtener

$$ \dot y = (\sin\theta\sin\phi)\dot r+(r\cos\theta\sin\phi)\dot\theta+(r\sin\theta\cos\phi)\dot\phi \\ \punto z = (\cos\theta)\dot r-(r\sin\theta)\dot\theta $$

A partir de esta tres ecuaciones, es sólo una manera de cuadrar todos ellos, lo que se suma a ellos y ver lo que usted consigue! Un trabajo tedioso, pero es que tiene que ser hecho a veces:

$$ \dot x^2 =\sin^2\theta\cos^2\phi\dot r^2+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi\dot\theta^2 +r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\dot\phi^2+\\ +2r\sin\theta\cos\theta\cos\phi^2\dot r\dot\theta\color{blue}{-2r\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi\dot r\dot\phi}\color{red}{-2r^2\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin\phi\dot\theta\dot\phi}\\[10 pt] \dot y^2 = \sin^2\theta\sin^2\phi\dot r^2+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\cos^2\phi\dot\phi^2+\\+2r\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi\punto r\dot\theta \color{blue}{+ 2r\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi\dot r\dot\phi }\color{red}{+2r^2\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin\phi\dot\theta\dot\phi}\\[10 pt] \dot z^2 = \cos^2\theta\dot r^2+r^2\sin^2\theta\dot\theta^2-2r\cos\theta\sin\theta\dot r\dot\theta $$

Vamos a evaluar la suma teniendo en cuenta que el color de las piezas, claramente, suman cero uno con el otro (vamos a ver que otras partes suman cero, pero no tan fácilmente):

$$\begin{align} (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) &= \dot r^2 (\sin^2\theta\cos^2\phi+\sin^2\theta\sin^2\phi+\cos^2\theta)\tag1\\ &+{}r^2\dot\theta^2(\cos^2\theta\cos^2\phi+\cos^2\theta\sin^2\phi+\sin^2\theta)\tag2\\ &+{}r^2\dot\phi^2(\sin^2\theta\sin^2\phi+\sin^2\theta\cos^2\phi)\tag3\\ &+{}2r\dot r\dot\theta(\sin\theta\cos\theta\cos^2\phi+\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi-\cos\theta\sin\theta)\tag4 \end{align} $$

Ahora es probablemente parece del todo mal! Pero, teniendo en cuenta la fórmula $$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$$ podemos hacer muchas cosas:

Fórmula $(1)$ $$ \color{red}{\sin^2\theta}\cos^2\phi+\color{red}{\sin^2\theta}\sin^2\phi+\cos^2\theta = \color{red}{\sin^2\theta}\underbrace{(\cos^2\phi+\sin^2\phi)}_{\text{es}}+\color{rojo}{\cos^2\theta} \\[5 pt] = \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1 $$

Fórmula $(2)$ $$ \color{red}{\cos^2\theta}\cos^2\phi+\color{red}{\cos^2\theta}\sin^2\phi+\sin^2\theta = \cos^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)+\sin^2\theta = \\ =\cos^2\theta+\sin^2\theta = 1 $$

Fórmula $(3)$ $$ \color{red}{\sin^2\theta}\sin^2\phi+\color{red}{\sin^2\theta}\cos^2\phi= \sin^2\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=\sin^2\theta $$

Fórmula $(4)$ $$ \color{red}{\sin\theta\cos\theta}\cos^2\phi+\color{red}{\cos\theta\sin\theta}\sin^2\phi-\cos\theta\sin\theta = \sin\theta\cos\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)-\cos\theta\sin\theta = \\ = \sin\theta\cos\theta\sin\theta\cos\theta=0 $$

Por último, conectar todo de nuevo en la suma de los derivados del cuadrado que lo que tenemos es

$$ (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) =\dot r^2+r^2\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\dot\phi^2 $$

que es exactamente la fórmula!

Answer 2

Esta es una (relativamente tedioso) aplicación de la cadena y la regla del producto.

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$$z=r \cos \theta$$

$$\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt} \left( r \cos \theta \right)$$

La aplicación de la regla del producto,

$$=\frac{dr}{dt} \cos \theta+ \frac{d \cos \theta}{dt} r$$

La aplicación de la regla de la cadena,

$$=\dot r \cos \theta+\frac{d \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} r$$

$$=\dot r \cos \theta-r \dot \theta \sin \theta $$

Es un ejercicio similar para diferenciar $r\sin \theta$ con respecto al tiempo.

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$$y=r \sin \theta \sin \phi$$

$$\dot y=\sin \phi \frac{d}{dt} (r \sin \theta)+r \sin \theta\frac{d}{dt} \sin \phi$$

$$= \sin \phi \frac{d}{dt} (r \sin \theta)+r \sin \theta\frac{d \sin \phi}{d\phi} \frac{d\phi}{dt}$$

$$=\sin \phi \left( \dot r \sin \theta+\dot \theta r \cos \theta \right)+r \dot \phi \sin \theta \cos \phi$$

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$$x=r \sin \theta \cos \phi$$

$$\dot x=\cos \phi \frac{d}{dt}\left(r \sin \theta \right)+r \sin \theta \frac{d}{dt} \cos \phi$$

$$=\cos \phi \left(\dot r \sin \theta+\dot \theta r \cos \theta \right)-r \dot \phi \sin \theta \sin \phi $$

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Para calcular el $\dot x^2+\dot y^2$ sin demasiados problemas, hacer la sustitución $u= \dot r \sin \theta+\dot \theta r \cos \theta$$v=r \dot \phi \sin \theta$. A continuación, calculamos,

$$(u \sin \phi +v \cos \phi)^2+(u \cos \phi-v \sin \phi)^2$$

$$=u^2+v^2$$

$$=(\dot r \sin \theta+\dot \theta r \cos \theta )^2+r^2 \dot \phi^2 \sin^2 \theta$$

Ahora, para calcular, $\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2$ nota:

$$(\dot r \sin \theta+\dot \theta r \cos \theta )^2+\left(\dot r \cos \theta-r \dot \theta \sin \theta \right)^2$$

$$=\dot r^2+r^2 \dot \theta^2$$

Así,

$$\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2= \dot r^2+r^2 \dot \theta^2+ r^2 \dot \phi^2 \sin^2 \theta$$

Como era de esperar.

Answer 3

Para convertir el concepto cartesiano de la expresión para la energía cinética,

$T = \dfrac{m}{2}(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) \tag 1$

en sperical coordenadas $r,\phi, \theta$ tal que

$x = r \sin \theta \cos \phi, \tag 2$

$y = r\sin \theta \sin \phi, \tag 3$

$z = r\cos \theta, \tag{4}$

nos limitamos a la necesidad de emplear dos resultados estándar de la escuela primaria de cálculo, a saber, la de Leibniz, producto de la regla y de la regla de la cadena; los cálculos son todos en el reino de básica de primer orden de la diferenciación a través de estos dos principios. Voy a empezar por que ilustran cómo estos conceptos se aplican a $z$ (4), ya que es la más sencilla de las tres expresiones (2)-(4); de (4), por la regla del producto, donde puedo usar $\dot{}$ ${}´$ tanto para representar el $t$derivados,

$\dot z = \dot r \cos \theta + r (\cos \theta)'; \tag 5$

aplicamos la regla de la cadena (5):

$(\cos \theta)' = \left (\dfrac{d\cos \theta}{d\theta} \right ) \dot \theta = -\dot \theta \sin \theta; \tag 6$

por lo tanto (5) se convierte en

$\dot z = \dot r \cos \theta - r \dot \theta \sin \theta; \tag 7$

nosotros igualmente manejar $x$, como en (2): de nuevo, el producto de la regla de los rendimientos

$\dot x = \dot r \sin \theta \cos \phi + r(\sin \theta)'\cos \phi + r\sin \theta (\cos \phi)', \tag 8$

y de nuevo tenemos que aplicar la regla de la cadena, esta vez dos veces:

$(\sin \theta)' = \dfrac{d\sin \theta}{d\theta} \dot \theta = \dot \theta \cos \theta, \tag 9$

$(\cos \phi)' = \dfrac{d\cos \phi}{d \phi} \dot \phi = -\dot \phi \sin \phi; \tag{10}$

montaje (8)-(10) juntos:

$\dot x = \dot r \sin \theta \cos \phi + r\dot \theta \cos \theta \sin \phi - r\dot \phi \sin \theta \sin \phi; \tag{11}$

y un parellel procedimiento, utilizando en primer lugar el de Leibniz y la regla de la cadena, también tenemos

$\dot y = \dot r \sin \theta \sin \phi + r \dot \theta \cos \theta \sin \phi + r \dot \phi \sin \theta \cos \phi; \tag{12}$

con (7), (11)-(12) en parte, el cálculo de $\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2$ en sphericals, no requiere más que una buena dosis o' álgebra; pero no hay realmente nada que ver en ella que no ha estado muy bien y más que suficiente presentado por nuestros compañeros David Morgante y Ahmed S. Ataalla.

Así que creo que voy a dejar ahora. Mi principal punto de interés y de aquí ha sido la de señalar cómo la de Leibniz y de la cadena de reglas, tanto en los resultados básicos del cálculo, se utiliza para la transformación de las velocidades, lo que lleva a la expresión de $T$ en coordenadas esféricas, como otros lo han demostrado.