La identidad $$ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\tau(2k+1)}{2k+1} = \frac{\pi^2}{16}$ $ (donde $\tau$ es la función del número de divisores) ha subido en OEIS secuencia A222068. ¿Seguramente se trata de "conocido"? ¿Alguien puede suministrar una referencia?
Respuesta
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La LHS es la Plaza de Dirichlet series $$ L(\chi4,s)=\sum{n\geq 1}\frac{\chi_4(n)}{n^s} $ $ evaluados en $s=1$, donde $\chi_4$ es el % de carácter de Dirichlet no principales $!!\pmod{4}$.
En la otra mano $$ L(\chi4,1) = \sum{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}.$ $ este argumento se basa en el reconocimiento de $(-1)^n \tau(2n+1)$ $\chi_4*\chi4$. Como alternativa, mediante la aplicación de manipulaciones directas a $$ \sum{n\geq 1} \tau(n) x^n =\sum{m\geq 1}\frac{x^m}{1-x^m} $ $ llegamos a $$ \sum{n\geq 0} \tau(2n+1) x^{2n}(-1)^n = \sum{m\geq 0}\frac{(-1)^m x^{2m}}{1+x^{4m+2}} $ $ y al integrar ambos lados en $(0,1)$ obtenemos % $ $$ \sum{n\geq 0} \frac{\tau(2n+1)(-1)^n}{2n+1} = \sum_{m\geq 0}\frac{(-1)^m}{2m+1}\cdot\frac{\pi}{4} = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2.$
