Dejemos que $F$ sea un campo, $E_1$ y $E_2$ son dos campos de extensión distintos de $F$ . ¿Es el caso de que siempre podemos encontrar de alguna manera un campo $G$ que contiene tanto $E_1$ y $E_2$ ? En otras palabras, ¿podrían las extensiones de los campos tener diferentes "direcciones" de manera que sean incompatibles?
Edición: Me puse a pensar en este problema mientras leía una prueba. $F$ es un campo. $a$ y $b$ son algebraicas sobre $F$ . $p(x)$ y $q(x)$ son dos polinomios en $F[x]$ de grado mínimo que hacen respectivamente $a$ y $b$ un cero. La prueba afirma que hay una extensión $K$ de $F$ tal que todos los ceros distintos de $p(x)$ y $q(x)$ mienten en $K$ . Para un solo polinomio, sé que este tipo de campo existe debido a la existencia del campo de división, ¿por qué es cierto para dos polinomios?
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R) Esta es una buena pregunta. La respuesta es que siempre se puede encontrar un campo que contenga subcampos isomorfos a $E_1$ y $E_2$ pero no necesariamente como subconjuntos. El término es el compositum de los campos de extensión. Véase, por ejemplo aquí . B) ¿No sería el campo de división del producto $p(x)q(x)$ ¿dar lo que necesitas?
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Gracias. ¡Eso es exactamente lo que siempre me confundió!
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Se producen los siguientes tipos de problemas. Podría tener $F=\Bbb{R}$ , $E_1=\Bbb{C}$ , $E_2=\Bbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$ . Cuando describimos $E_1$ y $E_2$ como extensiones de $\Bbb{R}$ identificamos ciertos subconjuntos dentro de ambos con $\Bbb{R}$ de la manera conocida. Pero, esas identificaciones no identifican inmediatamente todos los elementos de $E_1$ con los de $E_2$ . Sin esa identificación ampliada, es lógico que en cierto sentido $\Bbb{R}$ es la intersección $E_1\cap E_2$ . Sin embargo, es fácil demostrar que cualquier extensión $\Omega$ de $\Bbb{R}$ puede contener como máximo un único campo isomorfo a cualquiera de los dos
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(cont.) Explicar que realmente necesitamos esa parte "hasta el isomorfismo" en muchas afirmaciones cuando se trata de la teoría de campos.
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Estoy de acuerdo en que es una buena pregunta, porque apunta a una sutileza que a menudo se pasa por alto. Además de la observación de Jyrki de que a menudo se dice o debería decir "hasta el isomorfismo", otra forma de tratarla, al menos para las extensiones algebraicas, es que a menudo se fija un cierre algebraico $\bar K$ de un campo determinado $K$ y luego dice que todas las extensiones algebraicas $L|K$ deben tomarse dentro de ese cierre algebraico. (Y luego con argumentos abstractos se convence de que si hubiera elegido un cierre algebraico diferente $\bar K '$ se habrían obtenido resultados muy isomórficos).
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Un ejemplo de lo difíciles que pueden llegar a ser estas cosas si no se tiene cuidado es la pregunta mathoverflow.net/q/82083/27465 .
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¿Existe un campo que "naturalmente" contenga tanto el $2$ -números de la década de los ochenta y el $3$ -¿número de radicales? Al fin y al cabo, ambos son extensiones de los números racionales.