Para cualquier conjunto$A\subseteq\mathbb{R}^n$, tenemos$\overline{A^{\circ}} = \overline{\overline{A^{\circ}}^{\,\circ}}$

Question

Tengo que demostrar que para cualquier conjunto a $A\subseteq\mathbb{R}^n$, $$\large\overline{A^{\circ}} = \overline{\overline{A^{\circ}}^{\,\circ}}$$

Esto es lo que tengo hasta el momento: para cualquier conjunto $A$ estoy usando estas definiciones:

Interior:
$$\exists r > 0\text{ such that }\{x \mid B_r(x) \subseteq A\}$$

Cierre: $$\{x \in \mathbb{R}\mid \exists (X_n) \subseteq A \land X_n \rightarrow x\}$$

Ahora lo que no entiendo es, creo que la parte derecha de la igualdad, porque, tengo el interior de $A$, que es todos los puntos que tienen una bola que se incluye en $A$, el uso de este sé utilizando la definición de cierre que puedo coger una secuencia que converge a (usando $r$ y la disminución de la con $\frac{r}{n}$, $n\to\infty$ por ejemplo). Pero luego no sé cómo tomar el interior de lo que me refiero es a lo que voy, es que el cierre de la interior, es el interior, y luego la parte derecha de la ecuación es trivial, ya que es el mismo (m el interior del interior, es el interior, y su cierre en su interior)

Creo que me falta algo..

Answer 1

Primero, podemos reformular la pregunta: demuestre que para un conjunto abierto$U\subseteq\mathbb{R}^2$,$$\overline{U}=\overline{\overline{U}^{\circ}}

Para la dirección$\subseteq$, tenemos$U\subseteq \overline{U}^{\circ}$ porque el RHS es el conjunto abierto máximo que está contenido es$\overline{U}$. Como tomar un cierre es monótono (si$A\subseteq B$ luego$\overline{A}\subseteq \overline{B}$), obtenemos$\overline{U}\subseteq\overline{\overline{U}^{\circ}}$.

Para la dirección$\supseteq$, tenga en cuenta que para cualquier conjunto$A$ tenemos$\overline{A}=\overline{\overline{A}}$. Como$\overline{U}\supseteq\overline{U}^{\circ}$ obtenemos$\overline{U}=\overline{\overline{U}}\supseteq\overline{\overline{U}^{\circ}}$.

Answer 2

Curiosamente, este problema se puede solucionar apelando a sólo un par de propiedades abstractas de interior y cierre. Consulte este artículo para obtener más información. Aquí hay tres condiciones de satisfacción por el cierre de la operación:

1. $\mathrm{cl}(S) \supset S$ todos los $S \subset \mathbb{R}^n$ (conjuntos se hacen más grandes cuando los cierra)
2. $\mathrm{cl} (\mathrm{cl} (S)) = \mathrm{cl} (S)$ todos los $S \subset \mathbb{R}^n$ (el cierre de un conjunto cerrado es en sí misma)
3. Si $S \subset T \subset \mathbb{R}^n$, $\mathrm{cl}( S) \subset \mathrm{cl}( T)$ (cierre de la conserva de contención)

La situación de los interiores es casi el mismo:

1. $\mathrm{int}(S) \subset S$ todos los $S \subset \mathbb{R}^n$ (conjuntos de obtener más pequeño cuando usted toma su interior)
2. $\mathrm{int} (\mathrm{int} (S)) = \mathrm{int} (S)$ todos los $S \subset \mathbb{R}^n$ (el interior de un conjunto abierto es en sí misma)
3. Si $S \subset T \subset \mathbb{R}^n$, $\mathrm{int}( S) \subset \mathrm{int}( T)$ (tomando interiores conserva la contención)

Ahora, vamos a $S \subset \mathbb{R}^n$ ser dado. Tenemos $\mathrm{cl} (\mathrm{int}(S)) \supset \mathrm{int}(S)$. Ahora tome el interior de ambos lados para obtener $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(S))) \supset \mathrm{int}(\mathrm{int}(S)) = \mathrm{int}(S)$. Tomando el cierre en ambos lados lleva a $$\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(S)))) \supset \mathrm{cl} (\mathrm{int}(S))$$ que es la mitad de lo que nos proponemos demostrar. Os animo a tratar de deducir el reverso de la inclusión mediante métodos similares a partir de $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(S))) \subset \mathrm{cl}(\mathrm{int}(S))$.

Answer 3

Me gusta tomar$U = \operatorname{cl}(\operatorname{int}(A))$. Entonces$U$ es un conjunto cerrado en$\mathbb{R}^n$.

Entonces tenemos que demostrar$U = \operatorname{cl}(\operatorname{int}(U))$.

$\operatorname{int}(U) \subset U$

Como$U$ está cerrado y más cerca es el conjunto cerrado más pequeño que contiene$\operatorname{int}(U)$, decimos$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(U)) \subset U$.

Tome cualquier punto$a \in U$.

Si$a \in \operatorname{int} (U)$, trivially$a \in \operatorname{cl}(\operatorname{int} (U))$.

Si$a \in \operatorname{bd}(U)$,$a$ será un punto límite de$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(U))$.

En todo caso $a \in \operatorname{cl}(\operatorname{int}(U))$.

Por lo tanto$U = \operatorname{cl}(\operatorname{int}(A))$.

Ahora reemplace$U$ por$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(A))$ y obtenga el resultado.

Reemplazar notaciones solamente.