¿Qué significa "el doble de posibilidades"?

Question

De vez en cuando escucho a la gente decir algo como

X es dos veces más probable que Y.

Lo que suelen querer decir es:

$$p(X) = 2 \cdot p(Y)$$

y -en el contexto al que se refieren- suelen tener $p(Y) < \frac{1}{2}$ . Pero ¿qué hacer si $p(Y) > \frac{1}{2}$ ? ¿Puede haber un evento $X$ que es el doble de probable que $Y$ ? También me parece mal decir que $p(X) = 100 \%$ es dos veces más probable que $p(Y) = 50\%$ .

¿Existe una buena definición de lo que significa el doble de posibilidades?

Algunas reflexiones al respecto

Llamemos a esta función "dos veces más probable"

$$d: D \rightarrow [0, 1]$$

Yo esperaría $d$ para tener las siguientes propiedades:

• $D = [0, m]\subseteq [0,1]$
• $d(0) = 0 $
• $d$ es monótono

Answer 1

Personalmente no creo que "el doble de probable que $p$ "(o "dos veces más probable", ¿que suena más inglés?) suena como si debiera tener sentido para $p\ge\frac12$ .

Sin embargo, si queremos que tenga un significado, parece razonable exigir que " $q$ es el doble de probable que $p$ " debe significar $q=2p$ para los pequeños $p$ y $(1-q)=\frac12(1-p)$ para $p$ cerca de $1$ . El problema es, por supuesto, que estas dos expresiones no coinciden para $p$ s en el rango medio, por lo que tenemos que salvarlos de alguna manera.

Basta con cambiar las fórmulas en $p=\frac13$ -- que es el punto en el que dan la misma $q$ -- es insufriblemente simplista, por supuesto. Crea feas discontinuidades.

Los más matemáticamente La forma de principio de unir los dos extremos parece ser decir que $q$ debe ser el número cuyo logit es $\log2$ más que el logit de $q$ . Esto nos da la ecuación $$ \log\frac{q}{1-q} = \log\frac{p}{1-p}+\log 2$$ que se simplifica a $$ 2p-pq-q = 0 $$ o $$ q = \frac{2p}{p+1} $$ que es el mismo que alcanzó el usuario2345215.

(Por cierto, esta es la función racional de menor grado que tiene los valores y las pendientes requeridas en $p=0,1$ ).

Por desgracia, sus resultados en la gama media no son del todo intuitivos. Por ejemplo, afirma que "el doble de probable" que el 33% debería ser el 50% en lugar del 66% que probablemente se esperaría.

Answer 2

Hay una interpretación que creo que tiene más sentido: $$p\longrightarrow p:1-p\longrightarrow 2p:1-p\longrightarrow \frac{2p}{1+p}$$ También se podría interpretar como la elección del mejor resultado de $2$ , en cuyo caso se obtendría $$p+(1-p)p=2p-p^2$$ Ambos son ${\sim}2p$ para valores bajos de $p$ .

Creo que la primera es la correcta, porque entonces la mitad de las probabilidades coinciden con el doble de improbables. Pero si se generaliza la segunda a los reales positivos, no se consigue que escoger el peor resultado de $2$ es lo mismo que ser la mitad de probable en la generalización.

Answer 3

Las "personas" a las que te refieres que dicen "el doble de probabilidades" no suelen ser matemáticos profesionales (ni siquiera recreativos). Por tanto, su uso de esta expresión se limita a los casos en los que $P(Y) \leq 0.5$ .

Lo que la "gente" quiere decir cuando dice que la mayoría de las cosas son matemáticas suele ser lo más sencillo que parece y que ya has expuesto en tu pregunta: Decir que $X$ es dos veces más probable que $Y$ es decir que $P(X) = 2P(Y)$ .

Si $P(Y) > 0.5$ entonces nadie diría que algún evento $X$ es dos veces más probable que $Y$ .

Por supuesto, puedes inventar una función "dos veces más probable" con todas las campanas y silbatos que quieras, pero eso nunca será lo que la "gente" quiere decir.

Editar para elaborar: Añade también que

También me parece mal decir que p(X)=100% es dos veces más probable que p(Y)=50%.

Creo que sólo "se siente mal" porque si $P(X)=1$ y $P(Y)=0.5$ entonces la "gente" suele decir algo (mucho) más rotundo como " $X$ se producirá con seguridad, mientras que $Y$ ocurre sólo la mitad de las veces". El punto de decir que $X$ es "dos veces más probable" que $Y$ es destacar que $X$ es mucho más probable que ocurra. Pero si $P(X)$ va a suceder con seguridad, también podrías decir simplemente que va a suceder con seguridad.

Answer 4

Esto lleva a la misma respuesta que la de @user2345215, pero espero que la motive más. En Pokemon (al menos en Pokemon Go) tienes bolas normales con las que atrapar pokemon, así como bolas "mejoradas" que tienen una mayor probabilidad de atrapar un pokemon determinado, llamadas great balls. Puede que no tenga los detalles exactamente, pero la forma en que manejan esta "mayor probabilidad" es agradable, y podría impartir el significado de "el doble de probabilidad".

Supongamos que la probabilidad de atrapar a Charizard con una bola normal es del 10%. Queremos que la probabilidad de atraparlo con una bola grande se "duplique" en algún sentido que siga siendo válido si aplicamos esta discusión a pikachu, cuyas posibilidades son del 60%. Lo que hace Pokemon es dar a las bolas grandes un $2 \times$ "multiplicador": la posibilidad de atrapar a charizard con una gran bola es igual a la posibilidad de atraparlo con dos bolas normales, que es igual a la posibilidad de atraparlo en el primer lanzamiento + la posibilidad de atraparlo en el segundo: $$ p_{great} = p_{reg} + (1-p_{reg})*p_{reg} $$

Afortunadamente, esto nunca supera el 1 (lo que se puede comprobar) y da un bonito significado al doble de probabilidad. En el ejemplo anterior, una gran bola tiene un 19% de posibilidades de atrapar a un charizard. De hecho, "el doble de probabilidades" sólo equivale a $2p_{reg}$ cuando la probabilidad es cero; en caso contrario, siempre es estrictamente inferior a 2.

Estoy tratando de pensar en ejemplos de la vida real donde "dos veces" o " $5$ veces" como se podría utilizar. Estos datos tienden a citarse para cosas con probabilidades ya muy bajas, como que los fumadores mueran de cáncer de pulmón, en cuyo caso el autor simplemente quiere decir $2p$ o $5p$ . Así que permítanme inventar un ejemplo, que PODRÍA ser cierto, en el que la distinción importa:

A randomly chosen male is twice as likely to have experienced a car accident as a female.
70% of females have experienced a car accident.

Aquí los "pokemon" son accidentes de coche y las pokebolas son sorteos secuenciales de machos o hembras, respectivamente. La probabilidad de ver el historial de accidentes sacando un macho al azar, es igual a la probabilidad de ver el historial de accidentes con dos vidas femeninas sacadas al azar; 91%.

Answer 5

Creo que las "definiciones" separadas de "dos veces más probable" para $p < 1/2$ y $p > 1/2$ son ambos significativos.

Para $p < 1/2$ Si pensamos en la probabilidad como los resultados exitosos sobre el total de resultados, entonces una afirmación "el doble de probable" significa que la proporción de resultados exitosos sobre el total de resultados se duplica. Por lo tanto, no tiene sentido definir la expresión "dos veces más probable" si una probabilidad ya es más de $\frac{1}{2}$ .

Para $p > 1/2$ , entonces interpreta la afirmación como "un resultado no exitoso es la mitad de probable". Así, obtenemos que $99\%$ es "dos veces más probable" que $98\%$ . Obsérvese que esta es la misma definición de la primera, salvo que nos centramos en la otra cara de la moneda, por así decirlo.