Integral de$e^{(x-x^3)/3n}$ de$0$ a$\infty$

Question

¿Cómo se puede calcular la siguiente integral asumiendo$n>0$? ps

Mathematica etc. no produce nada útil.

EDITAR: Me encantaría tener un resultado asintótico en$$\int_{x=0}^{\infty}e^{\frac{x -x^3}{3n}}dx $si es muy difícil de calcular exactamente. No sé si ayuda, pero$n

Answer 1

El comportamiento asintótico ($n\gg 1$) está dada por (el $x$ contribución desaparece y la integral se convierte en solucionable) : $$\int_0^\infty e^{\frac{x -x^3}{3n}}dx \sim (3n)^{1/3}\Gamma\left(\frac 43\right)$$

Para obtener el siguiente términos de la expansión, y darle un poco de confianza en este resultado, vamos a ampliar el $e^{x/(3n)}$ factor en la serie y uso (ya que esta integral puede escribirse como una gamma integral) : $$\int_0^\infty \left(\frac x{3n}\right)^k e^{\frac{-x^3}{3n}}dx=\frac {(3n)^{(1-2k)/3}}{k+1}\Gamma\left(\frac{k+4}3\right)$$

Observar que tendremos que dividir por $(3n)^{2/3}$ a cada paso $k\to k+1$ (como se puede ver en GEdgar la respuesta) llegar con la expansión de la $e^r=1+r+\frac {r^2}2+\cdots$

$$\int_0^\infty e^{\frac{x -x^3}{3n}}dx \sim (3n)^{1/3}\left(\Gamma\left(\frac 43\right)+\frac {\Gamma\left(\frac 53\right)}{2(3n)^{2/3}}+\frac 1{2\cdot 3 (3n)^{4/3}}+\rm{O}\left(n^{-2}\right)\right)$$

Answer 2

Supongo que el Arce tiene una de las respuestas inútiles: $$\int_{0}^{\infty} \operatorname{e} ^{\frac {x-(-1 + x^{2})}{3 n}} d x = \frac{i}{9} \pi \mathrm{BesselY} \biggl(\frac{1}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{27 n}\biggr) \sqrt{3} - \\ \quad{}\quad{}\frac{i}{9} \pi \mathrm{AngerJ} \biggl(\frac{1}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{27 n}\biggr) + \frac{2}{3} \mathrm{BesselK} \biggl(\frac{1}{3},\frac{-2\sqrt{3}}{27 n}\biggr) + \\ \quad{}\quad{}\frac{i}{9} \pi \mathrm{BesselJ} \biggl(\frac{1}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{27 n}\biggr) + \frac{i}{9} \sqrt{3} \pi \mathrm{WeberE} \biggl(\frac{1}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{27 n}\biggr)$$ Arce informes asymptotics para esto $$\frac{2 \sqrt[3]{n} \pi 3^{\frac{5}{6}}}{9 \Gamma \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)}$$ que se diferencia por factor $3^{5/6}$ de Raymond de la respuesta. Tal vez esto es más exacta??

Más términos $$\frac{2 \sqrt[3]{n} \pi 3^{\frac{5}{6}}}{9 \Gamma \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)} + \frac{\Gamma \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr) 3^{\frac{2}{3}}}{9 \sqrt[3]{n}} - \frac{1}{36 n} + O(n^{-5/3})$$