Tratando de derivar el valor esperado de la variable aleatoria distribuida triangularmente

Question

Estoy teniendo problemas para obtener el valor esperado de un triangular distribuido variable aleatoria con límite inferior $a$ límite superior $b$ e modo $c$ para el caso cuando la distribución es simétrica alrededor de la modalidad. El valor esperado en este caso es conocido por ser el modo de $c$. La función de densidad de la distribución triangular se puede encontrar aquí. En el simétrica caso, esto se reduce a

$$ P(x) = \begin{cases} \frac{x-a}{\beta^2} & a \leq x < c \\[8pt] \frac{-(x-b)}{\beta^2} & c \leq x \leq b \end{casos} $$

donde el parámetro de $\beta$ está definido por

$$a = c-\beta$$ $$b = c + \beta$$

El valor esperado de la integral es entonces

$$E(x)=1/\beta^2\left(\int_a^cx(x-a)\:dx+\int_c^b -x(x-b)\:dx\right)$$

En el que se evalúa a

$$E(x)=1/\beta^2\left(\left[\frac{x^3}{3}-\frac{ax^2}{2}\right]^{x=c}_{x=a}-\left[\frac{x^3}{3}-\frac{bx^2}{2}\right]^{x=b}_{x=c}\right)$$

$$E(x)=1/\beta^2\left(\frac{c^3}{3}-\frac{ac^2}{2}+\frac{a^3}{6}-\left(-\frac{b^3}{6} - \frac{c^3}{3}+\frac{bc^2}{2}\right)\right)$$

$$E(x)=1/\beta^2\left(\frac{2c^3}{3}+\frac{a^3}{6}+\frac{b^3}{6}-\frac{ac^2}{2} -\frac{bc^2}{2}\right)$$

$$E(x)=\frac{1}{6\beta^2}\left(4c^3+a^3+b^3-3c^2(a+b)\right)$$

$$E(x)=\frac{1}{6\beta^2}\left(-2c^3+a^3+b^3\right)$$

Aquí es donde voy a tirar mis manos en el aire y girar a MSE. ¿Cómo diablos se va a reducir a $c$??

Answer 1

ACTUALIZAR

Finalmente obtuviste$$E(x)=\frac{1}{6\beta^2}\left(-2c^3+a^3+b^3\right)$ $ pero ten en cuenta que, como$a=c-\beta$ y$b=c+\beta$, tenemos $$ \begin{split} a^3+b^3-2c^3 &=(c-\beta)^3 + (c+\beta)^3-2c^3\\ &= \left(c^3-3c^2\beta+3c\beta^2-\beta^3\right) + \left(c^3+3c^2\beta+3c\beta^2+\beta^3\right) - 2c^3\\ &= 3c\beta^2+3c\beta^2 \\ &= 6c\beta^2 \end {split} $$ Así $$ E (x) = \ frac { -2c ^ 3 + a ^ 3 + b ^ 3} {6 \ beta ^ 2} = \ frac {6c \ beta ^ 2} {6 \ beta ^ 2} = c, $$ como se desee.