Los generadores de $SU(3)$ grupo son Gell-Mann matrices y uno puede construir estos generadores de Pauli spin matrices, básicamente expansión en 3d y rotación sobre cada eje. Tome $\sigma_3$, supongamos que girar alrededor de $y$-eje en 3d $$ \lambda_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} $$ Sin embargo, no hay tal Gell-Mann matriz. En lugar de ello, Gell-Mann $\lambda_8$ $$ \lambda_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix} $$ parece que el aspecto de una combinación de más de uno de los estados? Agradecería si alguien explique ¿por qué no tenemos $\sigma_3$ para la rotación alrededor de $y$ - $z$- eje, pero en lugar de $\lambda_8$? Por eso, hemos de tener finalmente 8 ocho generadores en lugar de 9. Supongo que la respuesta va a iluminar el número de generadores así.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cualquier transformación lineal forjado en la Mentira de álgebra de Lie del grupo de los rendimientos válido Mentira álgebra como creo que te entiendo (Gell Mann matrices son en realidad $i$ veces el sesgo de simetría Mentira álgebra miembros), y su propuesta de $\lambda_3$ es una combinación lineal de los Gell Mann matrices. La base consta de $i$ veces el Gell Mann matrices de hecho span $\mathfrak{su}(3)$: hay ocho de ellos, que son linealmente independientes, y el álgebra de $3\times3$ skew-simétrica de las matrices tiene ocho parámetros, de forma que tienen que ser válido!
Todo el grupo teórico de estudio en teoría, podría ser hecho con cualquier Mentira álgebra. Usted puede utilizar su matriz propuesta en lugar de $\lambda_8$ y, en teoría, teoría de la Mentira funciona a la perfección. Así que su pregunta en realidad es una pregunta acerca de la convención: ¿por qué elegimos este particular?
Una comodidad ofrecida por el Gell Mann matrices que no sea permitido por el sistema propuesto es que el Gell Mann matrices son ortogonales con respecto a la Matanza de forma y que también son ortogonales con respecto a la ordinaria de seguimiento interno del producto (esto es debido a que $SU(3)$ es no tiene continua del centro y su Mentira álgebra permanece igual cuando se asigna por el medico adjunto de la representación, por lo que la traza del producto interior es el mismo que el Asesinato de un formulario). Sólo puede haber dos diagonales de las matrices en el álgebra porque sólo podemos elegir dos de los tres elementos de la diagonal en la voluntad, cuando las matrices que se trate deben ser traceless, por lo tanto, si $\lambda_3$ está en la base, su matriz propuesta no puede ser: la segunda diagonal de la matriz debe ser ortogonal a $\lambda_3$.
