¿Por qué los conjuntos construibles son uniones disjuntas de conjuntos localmente cerrados?

Question

Sea $X$ sea un esquema noetheriano. Los conjuntos construibles son el álgebra booleana más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos. Es fácil ver que los conjuntos construibles son exactamente uniones finitas de conjuntos localmente cerrados. He leído varias veces que todo conjunto construible es un conjunto finito. disjuntos unión de conjuntos localmente cerrados. En todos los ejemplos que he visto se cumple, pero cuando intento demostrarlo me quedo atascado.

¿Alguien sabe por qué es así? Sospecho que se trata de un truco estándar que no he visto.

Answer 1

Ok me di cuenta de esto mientras estaba de compras.

Supongamos que $X$ es un esquema noetheriano. Sea $C \subseteq X $ sea un conjunto construible. Entonces podemos escribir $$ C = (U_1 \cap K_1) \cup (U_2 \cap K_2) \cup \dots \cup (U_s \cap K_s) $$ donde cada $ U_i $ está abierto y cada $ K_i $ está cerrado. Supongamos que $ U_i \cap K_i \cap U_j \cap K_j \not= \emptyset $ . Puesto que tenemos la ecuación $$ U_j \cap K_j \backslash U_i \cap K_i = [U_j \cap (K_j \backslash U_i)] \cup [(U_j \backslash K_i) \cap K_j] $$ podemos refinar nuestra descomposición para $C$ añadiendo un nuevo término con la parte cerrada $ K_j \backslash U_i \subset K_j$ (se trata de una inclusión estricta). Dado que $X$ es noetheriano, el principio del agujero de paloma infinito nos dice que este proceso no puede continuar eternamente. Por lo tanto, debemos llegar a un punto en el que todos los conjuntos localmente cerrados sean disjuntos.

Answer 2

En realidad, la prueba no requiere la propiedad noetheriana. He aquí una prueba que he encontrado aquí :

Basta con demostrar que la familia de conjuntos que son uniones finitas disjuntas de conjuntos localmente cerrados es un álgebra booleana. Obviamente es cerrada bajo intersecciones finitas. Ahora bien, el complemento de tal conjunto es una intersección finita de complementos de conjuntos localmente cerrados, por lo que queda por demostrar que el complemento de un único conjunto localmente cerrado es una unión disjunta de conjuntos localmente cerrados. Supongamos que $O\cap C$ es un conjunto localmente cerrado donde $O$ está abierto, $C$ está cerrado. Entonces la afirmación se deduce inmediatamente de $(O\cap C)^c=O^c\cup C^c=(O^c\cap C)\sqcup C^c$ ya que $O^c\cap C$ está abierto y $C^c$ está cerrado.