Secuencias recursivas

Question

Tengo $$s_1 = 1, s_n = ns_{n-1}$$

No sé lo que esto significa en absoluto, secuencia 1 es igual a 1, número de secuencia = número de veces el número de secuencia subíndice - 1

¿Ya está? Porque no funciona en absoluto cuando intento resolverlo.

Answer 1

Supongo que quiere decir $s_1=1, s_n=ns_{n-1}$ . Esta es una definición recursiva del factorial, $s_n=n!$ . El factorial de cualquier número natural es ese número multiplicado por el factorial de su predecesor. Por ejemplo, $5!=5\cdot 4!$ . Desenrollando la recursión, se encuentra que esto es equivalente a decir que el factorial de un número natural es el producto de todos los números naturales hasta ese número incluido. Por ejemplo,

$$\begin{eqnarray} 5!&=&5\cdot4! \\ &=& 5\cdot(4\cdot3!)\\ &=& 5\cdot(4\cdot(3\cdot2!))\\ &=& 5\cdot(4\cdot(3\cdot(2\cdot 1!)))\\ &=& 5\cdot(4\cdot(3\cdot(2\cdot 1)))\\ &=& 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\;. \end{eqnarray}$$

Answer 2

En referencia a $s_1$ como "secuencia uno" indica su confusión. Es más preciso llamarlo "primer elemento de la secuencia". La secuencia es la lista completa de valores $\{s_1,s_2,...,s_n,...\}$ .

Así que definimos el primer elemento de la secuencia, y luego definimos, para cualquier $n$ El $n$ de la secuencia en términos del $(n-1)$ término de la secuencia.

Answer 3

Utilizamos $s_n=ns_{n-1}$ : $$s_1=1$$ $$s_2=2s_{2-1}=2s_1=2$$ $$s_3=3s_2=3\cdot 2=6$$ $$s_4=4s_3=4\cdot 6=4\cdot3\cdot 2=24$$

La idea es que nos den un número inicial y un procedimiento que nos lleve de un número al siguiente. Tenemos una posición inicial y una forma de avanzar. Esto en total nos da nuestra secuencia completa. En este caso es relativamente fácil ver que estamos multiplicando todos los números naturales hasta $n$ (llamado $n!$ o "n factorial"), como dijo joriki. $s_n$ no es la secuencia en su conjunto, es el $n^{th}$ elemento de la secuencia.