No existe un mapa holomorphic entre Toro y la esfera de Riemann

Question

Así que la pregunta es la siguiente. Demostrar que no hay ninguna función de meromorphic $f$ de manera tal que en cada una de las $z\in \mathbb{C}$ tenemos $f(z)=f(z+1)$ $f(z)=f(z+i)$ con sólo simples postes en los puntos de $m+ni, m,n \in \mathbb{Z}$.

Así, esto parece una holomorphic mapa de el toro a la esfera de Riemann. Desde que el mapa es continua, la imagen del toro es compacto, por lo tanto cerrado. Por otro lado, holomorphic mapas están abiertas, por lo tanto la imagen es de carácter abierto, por lo que el mapa es surjective.

Ahora, si yo sabía que $f'(z) \neq 0$, entonces tendría una cubierta, y no hay revestimientos de el toro a la esfera. Sin embargo, yo no puedo hacer esa declaración.

Me pregunto, ¿hay una prueba de que sólo utiliza los argumentos de análisis complejo?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Considerar el $R = {z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z) \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]}$. Por la periodicidad de $f$,

$$\int_{\partial R}f(z) dz = 0.$$

Sin embargo, por el teorema del residuo,

$$\int_{\partial R}f(z) dz = 2\pi i\operatorname{Res}(f, 0).$$

#% Tiene un polo simple en $f$, $0$ %#%. Por lo tanto, no hay tal $\operatorname{Res}(f, 0) \neq 0$ existe.