¿Definición equivalente de exactitud de functor?

Question

Voy a utilizar la siguiente definición:

(Def) Un functor $F$ es exacta si y sólo si los mapas corto exacta de secuencias cortas secuencias exactas.

Ahora me gustaría probar el siguiente (no del todo seguro de que es cierto, pero alguien menciona algo como esto a mí hace algún tiempo):

Reclamo: $F$ es exacta si y sólo si los mapas exactos de las secuencias de $M \to N \to P$ exactas secuencias de $F(M) \to F(N) \to F(P)$

Prueba:

$\Longleftarrow$: Vamos a $0 \to M \to N \to P \to 0$ ser exactos. Entonces $0 \to M \to N$, $M \to N \to P$ y $N \to P \to 0$ son exactos y, por tanto,$0 \to F(M) \to F(N) $, $F(M) \to F(N) \to F(P)$ y $F(N) \to F(P) \to 0$ son exactas. Por lo tanto $0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$ es exacta.

$\implies$: Esta es la dirección que yo estoy atascado con. Estoy tratando de hacer algo como esto: Dado $M \to N \to P$ exacto, tenemos que $0 \to ker(f) \to M \to im(f) \to 0$ es exacta. Por lo tanto $0 \to F(ker(f)) \to F(M) \to F(im(f)) \to 0$ es exacta. Entonces yo quiero hacer esto otra vez para el otro lado de la secuencia y el palo de nuevo juntos después de aplicar el $F$ para obtener el deseado breve secuencia exacta.

¿Cómo funciona esto? Tal vez necesito supuestos adicionales en $F$? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Cualquier secuencia exacta puede ser descompuesto en corto exacta de las secuencias de ($C_i$ son kernels/imágenes):

Así, desde su functor $F$ conserva corto exacta de las secuencias, se puede aplicar a $F$ y la diagonal secuencias seguirá siendo exacta. Ahora es un hecho general que en cualquier diagrama, si las diagonales son exactas, entonces los términos centrales son exactas (por diagrama persiguiendo).

EDIT: Si $f_i\colon A_i\to A_{i+1}$, $C_i=\ker(f_i)$ que por la exactitud es isomorfo a $\operatorname{im}(f_{i-1})$.