Factoriza el polinomio$z^5 + 32$ en factores reales

Question

La pregunta que me cuesta resolver es la siguiente:

Factorizar el polinomio $z^5 + 32$ en factores reales. La respuesta no debe usar funciones trigonométricas. (Sugerencia: puede usar el hecho de que: $cos(\pi/5) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$cos(3\pi/5) = \frac{1-\sqrt{5}}{4}$.

En la anterior pregunta, se supone que para encontrar las raíces complejas de la ecuación de $z^5 = -32$ en forma polar, lo que resulta en las raíces:

$$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{5}}$$$$z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{5}}$$ $$z_3 = 2e^{i\pi} = -2$$ $$z_4 = 2e^{i\frac{7\pi}{5}}$$$$ z_5 = 2e^{i\frac{9\pi}{5}} $$

Mi intento de solución:

Primero debemos saber que sólo hay una raíz real de la ecuación de $z^5 = -32$, es decir,$-2$.

Así que si escribimos el polinomio como la ecuación: $z^5 + 32 = 0$ sabemos que $(z+2)$ debe ser un factor y tenemos cuatro posibles factores de izquierda a encontrar. Ya sabemos que el polinomio $z^5 +32$ sólo tiene coeficientes reales, de la falta de raíces reales tiene que venir en pares.

Entonces, debemos encontrar dos raíces que se compone de los conjugados de las raíces imaginarias de los componentes para producir las otras dos raíces reales... Pero estoy atascado aquí.

Answer 1

Establezca$t=2z$, por el momento. Luego \begin{align} z^5+32=32(t^5+1) &=32(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)\\ &=32(t+1)t^2\left(t^2+\frac{1}{t^2}-\left(t+\frac{1}{t}\right)+1\right)\\ &=32(t+1)t^2\left(\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\!2}-\left(t+\frac{1}{t}\right)-1\right) \end {align} Considere$u^2-u-1=(u-\alpha)(u-\beta)$, donde $$ \ alpha = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2}, \ qquad \ beta = \ frac {1- \ sqrt { 5}} {2} $$ y tan $$ z ^ 5 +32 = 32 (t +1) t ^ 2 \ left (t + \ frac {1} {t} - \ alpha \ right) \ left (t + \ frac {1} {t} - \ beta \ right) $$ que quiere decir $$ z ^ 5 +32 = 32 (t +1) (t ^ 2- \ alpha t +1) (t ^ 2- \ beta t +1) = (z +2) (z ^ 2-2 \ alpha z +4) (z ^ 2-2 \ beta z +4) $$

Answer 2

Encontraste las raíces así que$z^5+32=(z+2)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_4)(z-z_5)$.

Observe que$cos(x)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ y que$z_1z_5\in\mathbb{R}$ y$z_2z_4\in\mathbb{R}$

Answer 3

INSINUACIÓN:

ps

ps

Si $$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

$$a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=(a^2+b^2)^2-ab(a^2+b^2)-a^2b^2$ $ Entonces, podemos expresar$ab\ne0,$ en términos de$$(a^2+b^2)^2-ab(a^2+b^2)-a^2b^2=a^2b^2\left[\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^2-\frac{a^2+b^2}{ab}-1\right]$

Answer 4

$z^2 + 32 = (z+2)(x - \alpha)(z - \overline {\alpha})(z - \beta)(z- \overline {\beta})$ $\overline {\alpha}, \overline {\beta}$ siendo conjugado complejo de $\alpha, \beta$ respectivamente. También $(z - \alpha)(z - \overline {\alpha})$ y $(z - \beta)(z- \overline {\beta})$ son los polinomios verdaderos (¿por qué?). Ahora elija $\alpha = z_1, \beta = z_2.$ % entonces $\overline {\alpha} = z_5, \overline {\beta} = z_4.$