Si$P,Q\ge 0;P+Q=I$, cómo probar$||P-Q||_2\le1$

Question

Definimos$$\|A\|_2=\max_{x\ne0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} como la norma de la matriz (Norma espectral, http://mathworld.wolfram.com/SpectralNorm.html ).

Si$P,Q$ son matrices de simetría definidas y$P+Q=I$. Cómo probar que$$\|P-Q\|_2\le1

Mi pensamiento:

De hecho, de$P+Q=I$, podemos concluir que cada valor propio de par de P y Q es sumar 1. Como resultado, su autovalor es menor que 1. Pero, ¿cuál es el siguiente paso para decir que$\|P-Q\|_2\le1$?

Answer 1

En general, la afirmación no es verdadera. Tome $P = 2I$$Q = -I$. A continuación, $P+Q = I$ pero $P-Q = 3I$ $\|3I\|_2 = 3 > 1$

Sin embargo, si se asume que el $P$ $Q$ son tanto, ya sea negativo o definitivo, podría funcionar:

(EDICIÓN no:) Te $P,Q$ ser simétrica, definida positiva (spd). Deje $v$ ser un autovector de a $Q$. Entonces

$(P+Q)v = Pv + \lambda v = v \Rightarrow Pv = (1-\lambda)v$

Por lo tanto, $v$ también es un autovector de a $P$ con autovalor $(1-\lambda)$. Un argumento similar muestra que cada vector propio de a $Q$ es un autovector de a $P$. Rango completo de $P$ $Q$ implica que cada vector propio de a $P-Q$ debe ser un autovector de a $P$ $Q$ también.

Ahora vamos a $v$ ser un autovector de ambos $P - Q$. A continuación,$(P-Q)v = (1-\lambda)v - \lambda v = (1-2\lambda)v$. Sin embargo, tanto el $\lambda$ $1-\lambda$ son más grandes que las $0$, ya que el $P$ $Q$ son spd. Eso significa que $\lambda \in [0,1]$ lo que implica que $(1-2\lambda) \in [-1,1]$. Esto es cierto para cada autovalor de a $(P-Q)$, por lo $\|(P-Q)\|_2 \leq 1$.

Si $P$ $Q$ son negativos definitiva reemplace $P := -P$ $Q:= -Q$ y el mismo argumento como el anterior titular.

Answer 2

He aquí una solución alternativa el uso de la traza. Como se muestra en los comentarios, la afirmación no se sostiene si $P, Q$ no no negativa definida. Así que supongamos que ambos son. En este caso los autovalores $\lambda_j$ $P$ y los autovalores $\mu_j$ $Q$ satisfacer $$\etiqueta{1} \begin{array}{ccc} 0\le \lambda_j, & 0\le \mu_j,& \lambda_j+\mu_j \le 1. \end{array}$$ Las dos primeras desigualdades provienen de no negativo de la certeza, la última es obtenida por la toma de la huella de $P+Q=I$.

Desde $P-Q$ es simétrica, su norma es igual a su radio espectral, es decir, el valor absoluto máximo de sus autovalores.

Aquí viene el paso clave: como fuertemente insinuó por don-de la respuesta de joe, el hecho de que $P+Q=I$ implica que el $P$ $Q$ viaje, porque $$PQ=(P+Q)Q-Q^2 = Q-Q^2= Q(P+Q)-Q^2=QP.$$ Y así los autovalores de a$P-Q$$\lambda_j-\mu_j$. A causa de (1) tenemos $$|\lambda_j-\mu_j|\le 1,$$ así, en particular, $$\|P-Q\|_2=\max_j |\lambda_j-\mu_j|\le 1,$$ como se reivindica.