Integración de la función delta de dirac con un argumento de periódicos

Question

Por ejemplo $$\int_0^\infty \frac{\delta \big (\cos(x^2) \big)}{x^2} dx

Simplemente no sé cómo manejar allí siendo múltiples soluciones para $\delta (cos(x^2))=0$

Answer 1

EDIT: Porque no han estado mal las declaraciones publicadas, puedo añadir una instrucción general. Para una función derivable $g(x)$ con ceros $x_n$ de orden 1, se define el $$\delta (g(x)) = \sum_{n} \frac{1}{\vert g'(x_n) \vert} \delta (x - x_n)$$ Echa un vistazo por ejemplo, Wikipedia. La razón por la que uno elige esta definición es porque es práctico. Echa un vistazo a los dos enfoques de abajo que dan el mismo resultado para obtener una idea de por qué esta definición es la "correcta".

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Primero de todo, me echó $\delta (\cos x^2 )$ en su forma estándar: Los ceros de $\cos x^2$$x^2 = \pi (n+\frac 1 2 ), n=0, 1, \dots$. I. e. para cada $n$, no es precisamente uno de los efectos positivos de cero. Los derivados son: $$\frac{d}{dx} \cos x^2 = 2 x \sin x^2$$ Para $x = \sqrt{\pi (n+\frac 1 2)}$, esto le da $$2 \sqrt{\pi (n+\frac 1 2)} \cdot (-1)^{n+1}$$ Por lo tanto, $$\int_0^\infty dx\,\frac{\delta (\cos x^2)}{x^2} = \int_0^\infty dx\,\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2 \sqrt{\pi (n+\frac 1 2 )}} \delta (x- \sqrt{\pi (n+\frac 1 2)}) \frac{1}{x^2} =\\= \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty dx\, \frac{1}{2 \sqrt{\pi (n+\frac 1 2 )}} \delta (x- \sqrt{\pi (n+\frac 1 2)})\frac{1}{x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2 (\pi (n+\frac 1 2 ))^{3/2}}$$

Esto converge absolutamente, como puede verse en la evaluación de la integral y la explotación de monotonía.

Otra forma de obtener el resultado es por sustitución directa: $d(x^2) = 2 x\,dx, \frac{dx}{x^2}=\frac{2 x dx}{2 (x^2)^{3/2}}$

$$\int_0^\infty dx\,\frac{\delta (\cos x^2 )}{x^2} = \int_0^\infty d\xi\,\frac{\delta (\cos \xi )}{2 \xi^{3/2}}$$ Aquí, uno tiene que considerar los ceros $$\xi = \pi (n + \frac 1 2)$$ y así $$\dots = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(\pi (n+\frac 1 2))^{3/2}}$$