A la función que ' s imagen es $\mathbb{R}$ en cada intervalo

Question

Me preguntaba si existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface la propiedad que cada $a****

Answer 1

Función 13 base de Conway hace exactamente lo que quiere: se asigna cada no vacío abierto intervalo al conjunto de $\mathbb R$. Vea este artículo de Wikipedia para más detalles.

Tenga en cuenta que esta función es discontinua en todas partes. Si usted requiere un continuo $f$, lo no hecho.

Answer 2

Por otro contraejemplo lamentablemente no recuerdo la referencia, he visto en un tiempo.

Deje $ \mathbb{R} /\ \mathbb{Q}$ $[x] = [y]$ si y sólo si $x-y\in\mathbb{Q}$.

debido a $\mathbb{R} /\ \mathbb{Q}$ tiene el mismo cardinatlity como $\mathbb{R}$ obtenemos un surjection

$h:\mathbb{R} /\ \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$.

Ahora y definir $f (x) = h([x])$. La importante propiedad algebraica de $\mathbb{R} /\ \mathbb{Q}$ es que en cualquier intervalo de $(a,b)$ hay un conjunto completo de representantes, ya que para cualquier $x$ podemos encontrar $r$ un número racional tal que $x-r\in (a,b)$.

Y, por tanto,$f( (a,b)) = \mathbb{R}$. para cualquier intervalo de tiempo.