Si , Probar .

Question

Estoy casi avergonzado de estar preguntando acerca de un problema como este (ejercicio 12 en Niven 1.2), pero aquí va:

Dado $(a,4)=(b,4)=2$, muestran que $(a+b,4)=4$.

Tengo un montón de trucos para trabajar con gcds multiplicatively, sin embargo, me he honestamente no tengo idea de cómo atacar este problema. Yo especie de medias tratado de utilizar la identidad de Bezout, escrito $ax_0+4y_0 = 2$$bx_1+4y_1 = 2$. La adición de la ecuación da $$ax_0+bx_1+4(y_0+y_1) = 4$$ y por lo tanto, si yo fuera capaz de usar ese $x_0=x_1$ tenía sólo tiene que mostrar minimality. Sin embargo, viendo los ejercicios de todo esto que estoy completamente seguro de que soy complicar las cosas aquí. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

De la primera propiedad, podemos escribir $a=2a'$, donde $a'$ es impar. De la segunda propiedad, podemos escribir $b=2b'$, donde $b'$ es impar. Ahora tenemos $a+b=2(a'+b')$. $a', b'$ Son ambos impares, la suma es uniforme y $4|(a+b)$.

Answer 2

$\gcd(a,4)=2$ significa que $2$ es un divisor en $a$ y no es que el $4$. Lo mismo pasa con $b$, por lo que se puede escribir como $a$$4k+2$ y $b$ $4l+2$, que $a+b=4k+2+4l+2=4(k+l)+4$, que claramente tiene 4 como un divisor.

Answer 3

$2$ divide ambos $a$ y $b$, % y $4$ no, entonces congruente con $a,b$ (mod $2$), $4$ $a+b$ es un múltiplo de $4$.

Answer 4

Nada de que avergonzarse, matemáticos profesionales no siempre escribir las cosas en la manera que es más claro para la persona promedio. Si yo fuera Niven, me hubiera redactado el ejercicio así:

Dado $\gcd(a, 4) = 2$$\gcd(b, 4) = 2$, muestran que $\gcd(a + b, 4) = 4$.

Hubiera sido más tinta, pero creo que habría sido más claro. Otro problema es la idea de que cada problema de matemáticas requiere de algún método avanzado de fórmula, teorema o jerga. A veces todo lo que necesita es simple, el razonamiento básico.

Así que vamos a razón de esto a través de: $\gcd(a, 4) = 2$ significa que $a$ es incluso pero no es un múltiplo de 4. Podemos escribir $a = 4j + 2$ (donde $j$ es cualquier entero positivo o negativo que sea, o tal vez 0) y podemos escribir $a \equiv 2 \pmod 4$. Si queremos utilizar la jerga, se podría decir que el $a$ es un "individualmente número par" (ver Sloane del A016825).

Siguiente, $\gcd(b, 4) = 2$ significa que $b$ es también un solo número. Podemos escribir $b = 4k + 2$ (donde $k \in \mathbb{Z}$) y podemos escribir $b \equiv 2 \pmod 4$.

Por lo $a + b = 4j + 4k + 4 = 4(j + k + 1)$ por algebraica simple reescritura. Por congruencias tenemos $a + b \equiv 2 + 2 \equiv 0 \pmod 4$, lo que confirma la afirmación.

Tal vez yo hubiera hecho esto el siguiente ejercicio:

Expresar cada uno de los siguientes múltiplos de 4 como la suma de los dos por separado, incluso los números: $128, 0, -12$.

Answer 5

Tenga en cuenta que ambos $a$ y $b$ son de la forma $4k+2$. Por lo tanto, divide a $4$ $a+b$. También, el MCD divide $4$. Por lo tanto, el MCD es exactamente $4$.