Realmente estoy teniendo problemas para entender la declaración y la prueba. ¿Por qué el teorema elige$v_1 \neq 0 $? Por qué no $v_2$? También en la prueba (a), ¿por qué consideramos el mayor $j$?
No entiendo el enunciado Note que$a_2, a_3, \dots, a_m$ puede ser$0$ (porque$v_1 = 0 $) ¿Puede alguien enseñarme por ejemplo?
En primer lugar, no hay nada especial acerca de la $v_1$ que hemos creado no es igual a $0$. Estamos haciendo un arbitrario el fin de nuestra lista de base de vectores: el teorema sería el mismo si cambiamos los lugares de $v_1$ $v_2$ (y el cambio de la declaración de tal manera que potencialmente podríamos expresar $v_2$ en términos de $v_1$ y requieren que el $v_2 \ne 0$).
Tenemos que exigir que $v_1 \ne 0$ porque de lo contrario el singleton $\{ v_1 \}$ es linealmente dependiente, pero no tiene sentido para expresar $v_1$ en términos de los anteriores vectores de la base (a menos que usted considere $v_1 = 0$ un ejemplo de eso).
Consideramos que el mayor $j$ con un coeficiente distinto de cero, simplemente porque estamos expresando $v_j$ en términos de los anteriores vectores de la base. Si el coeficiente de $v_k$$0$, luego de la declaración no dice nada sobre el vector $v_k$. Queremos ser capaces de dividir el coeficiente, y teniendo el mayor $j$ vector que nos permite hacer eso.
Ahora, para responder a su última pregunta, supongamos que todos los de $a_2 \dots a_m$$0$. Estamos asumiendo que el $a_1$ $v_1$ no son cero, por lo $a_1 v_1 \ne 0$. Pero $0 = a_1 v_1 + \dots a_m v_m = a_1 v_1$ si el resto de coeficientes son todos los $0$. Esta es una contradicción.
La esperanza de que la ayudó.
En primer lugar, este es un importante y básico resultado. Ligeramente reformulado, que dice: si usted tiene un número finito de conjunto de vectores linealmente dependiente, entonces mirando de izquierda a derecha siempre se puede encontrar un vector que se encuentra en el espacio de los vectores a su izquierda en su lista. Compare esto con la afirmación de que un conjunto finito de vectores es linealmente dependiente de la fib siempre se puede encontrar un vector en la lista, que es una combinación lineal de los otros vectores. La última afirmación es más una consecuencia inmediata de la definición: si usted tiene una combinación lineal no trivial $a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n = 0$, entonces, por definición, debemos tener $a_i \neq 0$ durante al menos un $i$, y, a continuación,
$$v_i = \frac{-a_1}{a_i} v_1 + \ldots + \frac{-a_{i-1}}{a_i}v_{i-1} + \frac{-a_{i+1}}{a_i} v_{i+1} + \ldots + \frac{-a_n}{a_i} v_n.$$
Axler de la declaración es más fuerte en que se trata de la orden de los vectores. Este es sorprendentemente útil, y usted debe mirar hacia adelante para ver las aplicaciones si no lo has hecho ya.
Acerca de la $v_1$: es el primer vector de la lista, así que ese es el gran papel que desempeña. Tenga en cuenta también que yo diría que el resultado de una manera diferente: me permitiría $v_1$ a ser una combinación lineal de las anteriores, vacía, lista de vectores, lo que sucede en el fib $v_1 = 0$. Pero cuando el pensamiento acerca de la dependencia lineal temprana en la que es probablemente la mejor manera de concentrarse en el caso de que ninguno de los vectores es cero, porque poniendo el $0$ vector en la lista automáticamente hace que la lista lineal dependiente y es más bien un caso de degeneración.
Para el resto de las preguntas:
Elegimos la más grande de $j$ debido a que esta definición nos permite escribir $v_j$ como una combinación lineal de los vectores anteriores en la lista, que es lo que estamos tratando de hacer.
No todos los de la $a_2,\ldots,a_m$ puede ser cero: puesto que hemos asumido que $a_1,\ldots,a_m$ no son todos cero, si todos, pero $a_1$ son cero, entonces debemos tener $a_1 \neq 0$. Pero, a continuación, $$0 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_m v_m = a_1 v_1,$$ y desde $a_1 \neq 0$, obtenemos $v_1 = 0$, y hemos asumido que no lo es. (Tenga en cuenta que usted escribe "porque $v_1 = 0$" donde se debe escribir "porque $v_1 \neq 0$".)
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