Componentes conectados que están relativamente abiertos en$\sigma(T)$

Question

Deje $T$ ser un delimitada operador lineal sobre un espacio de Banach $X$. Supongamos que el espectro de $T$, $\sigma(T)$ tiene una infinidad de componentes conectados, a continuación, $\sigma(T)$ debe contener un número infinito de componentes conectados, que son relativamente abierta en $\sigma(T)$.

Vengo a través de la declaración anterior en el álgebra de operadores de papel, pero no tengo idea de por qué esto es cierto. Ya que, obviamente, esto no era necesariamente cierto si $\sigma(T)$ fue reemplazado por un conjunto general. Por lo tanto la respuesta debe implicar algún tipo de estructura de la propiedad del espectro de los operadores. Pero no estoy seguro de qué tipo de propiedad que necesitamos.

Alguien tiene una sugerencia?

Answer 1

La declaración es falsa Es un ejercicio estándar en la teoría del espacio de Hilbert que cada subconjunto compacto no vacío de$\mathbb{C}$ surge como el espectro de algún operador (diagonal).

Ahora permita que$T$ sea un operador cuyo espectro$\sigma(T)$ es el conjunto de Cantor$C \cong \{0,1\}^\mathbb{N}$. Sus componentes conectados son los puntos del conjunto de Cantor, pero ningún punto del conjunto de Cantor es relativamente abierto.