¿Cómo puedo solucionar $y^4 = 5 \pmod{11\times19}$ con legendre?

Question

Resolver $y^4 = 5 \pmod{11\times19}$

Estoy tratando de no $y^2=A$ $A^2=5 \pmod{11\times19}$.

Y resolver este problema entonces $A= 104,-104,28,-28 \pmod{11\times19}$

¿Entonces debo resolver este problema para todos este 4 $A$?

Quiero solucionar esto fácilmente con Legendre.

(Creo que puedo usar esta cosa que $(\frac{100}{14})=1$ y $(\frac{104}{19})=1$, $(\frac{28}{11})=-1$, $(\frac{14}{11})= 1$.)

Todas aquellas fracciones se traducen como símbolo de Legendre.

Answer 1

Separar los $\bmod 11$ y $\bmod 19$ hilos de la solución (solo mira hasta $\lfloor n/2 \rfloor$, podemos usar simetría después de eso):

\begin{array}{c|c|c} n & n^2 \bmod 11 & n^4 \bmod 11 & n^2 \bmod 19 & n^4 \bmod 19\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 4 & \color{red} 5 & 4 & 16 \ 3 & 9 & 4 & 9 & \color{red} 5 \ 4 & 5 & 3 & 16 & 9 \ 5 & 3 & 9 & 6 & 17 \ 6 & & & 17 & 4 \ 7 & & & 11 & 7 \ 8 & & & 7 & 11 \ 9 & & & 5 & 6 \ \end{matriz}

Esto nos da $y \equiv \pm 2\equiv (2,9) \bmod 11$ $y \equiv \pm 3\equiv (3, 16) \bmod 19$

\begin{align} y=19k+3 &\equiv \pm2 \bmod 11\ 8k &\equiv -1 \bmod 11 \tag{from %#%#%}\ k = 4 \implies y &=76+3 = 79 \text{ is a solution}\ 8k &\equiv -5 \bmod 11 \tag{from %#%#%}\ k = -4\times -5 \equiv 9 \implies y &= 171+3 = 174 \text{ is a solution}\ \end {Alinee el}

$+2$ Son las soluciones

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Los números son lo suficientemente pequeños como para que también podríamos avanzar las posibilidades:

$-2$

$ y \equiv (\pm 79, \pm 174) \equiv (35, 79, 130, 174) \bmod 209$

Entonces ${2,9,13,20,24,31,\color{red}{35},42,46,53,57,64,68,75,\color{red}{79},86,90,97,101,\ldots}$