Considerar la probabilidad de espacio $\left( \Omega\mathcal{,F,}\mathbb{P} \right)$. Dado un evento $A\mathcal{\in F}$ $\sigma$- álgebra $\mathcal{G \subseteq F}$, se definir la probabilidad condicional de a dado $\sigma$-álgebra $\mathcal{G}$, que se denota por a $\mathbb{P}\left( A|\mathcal{G} \right)$, como no negativo $\left( \Omega\mathcal{,G} \right) \rightarrow \left( \mathbb{R}\mathcal{,B}\left( \mathbb{R} \right) \right)$ variable aleatoria s.t. $\forall G \in \mathcal{G,}\mathbb{P}\left( A \cap G \right) = \int_{G}^{}{\mathbb{P}\left( A \middle| \mathcal{G} \right)d\mathbb{P}}$. Existencia y unicidad se prueba a continuación.
Para cualquier $A \in \mathcal{F}$$\mathcal{G \subseteq F}$, el probabilidad condicional existe y es un.s. único. Aviso $\mathbb{P}_{A}\left( \cdot \right):=\mathbb{P}\left( A\bigcap_{}^{}\left( \cdot \right) \right)$ es una medida para $\left( \Omega\mathcal{,G} \right)$ mediante la comprobación de los axiomas, y también podemos verificar $\mathbb{P}_{A}\mathbb{\ll P}$. También, $\mathbb{P}$ es también una medida válida para $\left( \Omega\mathcal{,G} \right)$, luego por Randon-Nikodym Teorema tenemos un no-negativo $\mathcal{G}$medible de la función $\mathbb{P}\left( A \middle| \mathcal{G} \right) = \frac{d\mathbb{P}_{A}}{d\mathbb{P}}$ existe y es un.s. único.
Podemos, además, muestran dio ninguna de las $\omega \in \Omega$, luego $\mathbb{P}_{\mathcal{G}}^{\left( \omega \right)}\left( \cdot \right):=\mathbb{P}\left( \cdot \middle| \mathcal{G} \right)\left( \omega \right)$ es un.s. una medida válida en $\left( \Omega\mathcal{,F} \right)$.
En primer lugar, $\mathbb{P}_{\mathcal{G}}^{\left( \omega \right)} \geq 0$ por definición. En segundo lugar, $\mathbb{P}_{\mathcal{G}}^{\left( \omega \right)}\left( \varnothing \right) = 0$ debido a que, por definición,$0 = \mathbb{P}\left( \varnothing \cap G \right) = \int_{G}^{}{\mathbb{P}\left( \varnothing \middle| \mathcal{G} \right)d\mathbb{P,\forall}G \in \mathcal{G \Rightarrow}\mathbb{P}\left( \varnothing \middle| \mathcal{G} \right) \equiv 0}$.s. En tercer lugar, para cualquier $A_{1},A_{2}\mathcal{\in F,}A_{1}\bigcap A_{2} = \varnothing$, luego $A_{1}\bigcap G$ es distinto, la forma $A_{2}\bigcap G$ y
$$\int_{G}^{}{\mathbb{P}\left( A_{1}\bigcup A_{2} \middle| \mathcal{G} \right)d\mathbb{P}}\mathbb{= P}\left( \left( A_{1}\bigcup A_{2} \right) \cap G \right)\mathbb{= P}\left( \left( A_{1}\bigcap G \right)\bigcup\left( A_{2}\bigcap G \right) \right)\mathbb{= P}\left( A_{1}\bigcap G \right)\mathbb{+ P}\left( A_{2}\bigcap G \right) = \int_{G}^{}{\mathbb{P}\left( A_{1} \middle| \mathcal{G} \right)d\mathbb{P}} + \int_{G}^{}{\mathbb{P}\left( A_{2} \middle| \mathcal{G} \right)d\mathbb{P}} = \int_{G}^{}{\left( \mathbb{P}\left( A_{1} \middle| \mathcal{G} \right)\mathbb{+ P}\left( A_{2} \middle| \mathcal{G} \right) \right)d\mathbb{P}}$$
Luego por la unicidad tenemos una.s. $\mathbb{P}\left( A_{1}\bigcup A_{2} \middle| \mathcal{G} \right) = \mathbb{P}\left( A_{1} \middle| \mathcal{G} \right)\mathbb{+ P}\left( A_{2} \middle| \mathcal{G} \right)$.
Necesito ayuda con el que muestra el siguiente,
Dado cualquier variable aleatoria $Y:\left( \Omega\mathcal{,F} \right) \rightarrow \left( S,\mathcal{E} \right)$, vamos a $\sigma(Y)$ ser su generadas $\sigma$-álgebra, a continuación,$\mathbb{P}_{\sigma\left( Y \right)}^{\left( \omega_{1} \right)} = \mathbb{P}_{\sigma\left( Y \right)}^{\left( \omega_{2} \right)}$.s. si $Y\left( \omega_{1} \right) = Y\left( \omega_{2} \right)$
