He estado leyendo algunos posts de aquí que creo que están relacionados, tales como este y este. Todavía estoy teniendo un momento difícil viene con una prueba interesante para mi pregunta.
Pregunta: Si un compacto lineal operador $T:X \rightarrow X$ en un infinito dimensional normativa espacio de $X$ tiene una inversa, la cual es definida en todos los de $X$, muestran que la inversa no puede ser acotada.
He encontrado esto en $8.3.8$ de Erwin Kreyszig análisis funcional.
Supongamos que $T^{-1}$ existió y fue delimitada. Entonces $T^{-1}(B_X) \subseteq KB_X$ $K > 0$. Tomando el $T$ en ambos lados da $$B_X = T(T^{-1}(B_X)) \subseteq T(KB_X) = KT(B_X).$ $ $\overline{T(B_X)}$ es compacto, sigue que $B_X$ es un subconjunto cerrado de un conjunto compacto, y por lo tanto es compacto, lo que implica $X$ es finito-dimensional.
Se sabe que el pacto por los operadores de $\mathbb{K}(X)$ forma de dos caras ideal en el álgebra de operadores acotados $\mathbb{B}(X)$.
Así que si $T \in \mathbb{K}(X)$ tiene una inversa $T^{-1} \in \mathbb{B}(X)$, tenemos
$$TT^{-1} = I$$
así, se seguiría que $I \in \mathbb{K}(X)$, y el mapa de identidad $I$ no es compacto al $X$ es de dimensiones infinitas.
Por lo tanto, $T^{-1}$ no puede estar acotada.
En realidad, una compacta de operador $T \in \mathbb{K}(X)$ cuando $X$ es un espacio de Banach no puede ni siquiera ser surjective, digamos bijective.
De hecho, un surjective delimitada mapa de $T \in \mathbb{B}(X)$ está abierto por la asignación Abierta teorema, por lo $T(B(0,1))$ es un conjunto abierto. Por lo tanto, $T(\overline{B}(0,1))$ contiene una bola cerrada que no es compacto en un infinito espacio tridimensional $X$. Por lo tanto $T(\overline{B}(0,1))$ no puede ser precompact lo $T$ no es compacto.
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