¿Cómo puedo definir esta transformación natural $X^{A+B} \to X^A \times X^B$?

Question

Así que tengo que definir una transformación natural entre i $F,G:C\to C$, donde $F(X)= X^{A+B}$ y $G(X)=X^A\times X^B$. Me di cuenta de que $\alpha_X:X^{A+B}\to X^A\times X^B$ debe ser $\langle f,g \rangle$ donde $f:X^{A+B}\to X^A$ y $g:X^{A+B}\to X^B$, pero no podemos definir $f$ (o $g$, que es lo mismo). ¿Cómo puedo hacerlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

El exponencial objeto es contravariante en el "exponente" de la variable: Si $A \to B$ es una de morfismos, esto induce a una de morfismos de functors $$\hom(-,X^B)\cong \hom(- \times B,X) \to \hom(- \times A,X) \cong \hom(-,X^A) $$ and hence a morphism $X^B \a X^$ (Yoneda Lemma). This morphism is natural in $X$ since the morphisms of functors above are natural in $X$.

Por lo tanto, las inclusiones $A \to A+B \leftarrow B$ inducir morfismos $X^A \leftarrow X^{A \times B} \rightarrow X^B$. Por el universal de la propiedad del producto de estas rendimiento de un morfismos $X^{A + B} \to X^A \times X^B$. Este morfismos es natural en $X$ ya que sus componentes son.

En realidad este morfismos es un isomorfismo cuando tenemos la "ley distributiva" $A \times C + B \times C \cong (A+B) \times C$ (a través de la canónica de morfismos $\to$) en nuestra categoría. Esto puede verse mejor a través de la Yoneda Lema: Simplemente escribir el representado functors y observar que son isomorfos.

Answer 2

Por definición de la exponencial objeto, $\hom(X^{A+B}, X^A) \cong \hom(X^{A+B} \times A, X)$. Así que usted quiere un natural de morfismos $X^{A+B} \times A \to X$ (y lo mismo para $B$, luego de tomar el producto de estos dos morfismos).

Pero, de nuevo, por definición de la exponencial objeto tiene un natural de morfismos: $$\operatorname{eval} : X^{A+B} \times (A+B) \to X.$$

Por las propiedades universales del producto y el subproducto, $$X^{A+B} \times (A + B) \cong (X^{A+B} \times A) + (X^{A+B} \times B).$$

Así que si usted componer la evaluación con la canónica (natural) "la inyección": $$X^{A+B} \times A \to (X^{A+B} \times A) + (X^{A+B} \times B),$$ usted obtener la morfismos desea. Yo te permitirá comprobar que todo es natural (un ejercicio saludable).