¿Qué significa U(N)xU(N)/U(1)?

Question

Estoy estudiando un modelo en el que se produce SSB y el grupo de simetría original es U(N)xU(N)/U(1) actúa como: $M'=AMB^{-1}$ (M es una matriz NxN que contiene los campos) El estado de Groud que he encontrado es invariante bajo esta transformación sólo si $A=B$ pero no estoy seguro de qué subgrupo se trata. Mi objetivo es averiguar las dimensiones del grupo original y del subgrupo invariante (y también de qué grupo se trata) para poder averiguar cuántos bosones de piedra dorada hay. Mis preguntas son:

• ¿Qué significa factorizar por U(1)?
• ¿Son las dimensiones del grupo original $2N^2-1$ ?
• Es el subgrupo con $A=B$ simplemente U(N) actuando como $M'=AMA^{-1}$ y si esto es correcto que hago con el factor $U(1)$ ? ¿Es el subgrupo invariante final $U(N)/U(1)$ o simplemente $U(N)$ ?

Mi intento de solución es: $dim(U(N)xU(N)/U(1))=2N^{2}-1$ y $dim(U(N)/U(1))=N^{2}-1$ así que tengo $N_{goldstone}=2N^{2}-1-(N^{2}-1)=N^{2}$ pero tengo la terrible sensación de que esto está mal

El funcionamiento del SSB lo tengo bastante claro pero me cuesta la maquinaria de la teoría de grupos ya que no estoy familiarizado con este tipo de grupos y lo que hago normalmente es dejar que los generadores actúen sobre los estados básicos y ver cuáles se rompen, cosa que no puedo hacer ya que ni siquiera he entendido con qué tipo de grupo estoy trabajando (además ya sé que U(N) = SU(N) × U(1)/Z ¡pero sigo sin saber qué hacer con el factor U(1)!

Answer 1

El grupo $U(N)\times U(N)$ actúa en su espacio original, pero algunos elementos del grupo actúan de la misma manera: la acción no es fiel En otras palabras, este grupo mapea en el grupo de simetría (esto se asume implícitamente por lo que has escrito), pero no de forma inyectiva.

En concreto, el subgrupo diagonal de las matrices escalares (es decir, las matrices que son múltiplos escalares de la identidad, éstas son las únicas matrices que conmutan con todas las demás matrices) actúa trivialmente. Sus elementos son los pares $(A,A)\in U(N)\times U(N)$ donde $A$ es una matriz escalar, por lo que un elemento de $U(1)$ y asumiendo que $M$ vive en un subespacio suficientemente grande de todos los $N\times N$ matrices, ningún otro subgrupo actúa trivialmente. Se trata de un subgrupo que es trivialmente isomorfo a $U(1)$ .

De forma más general (aunque de hecho sea equivalente), dos elementos $(A,B), (A',B')\in U(N)\times U(N)$ actúan de la misma manera (es decir, definen la misma simetría) exactamente cuando difieren por un elemento de este subgrupo diagonal isomorfo a $U(1)$ . Esto significa que el grupo de simetría completo es un conjunto cociente de $U(N)\times U(N)$ cuyos elementos son subconjuntos formados por todos aquellos elementos del grupo original que inducen la misma simetría, es decir, que tienen el mismo efecto sobre todos los posibles $M$ . En nuestro caso los elementos son los conjuntos de la forma $(A,B)H$ , llamado cosets donde $H$ es este subgrupo diagonal.

Cuando este subgrupo es normal como en este ejemplo, la estructura de grupo del grupo original desciende naturalmente al conjunto cociente, convirtiéndolo de nuevo en un grupo.

Cuando el grupo original es un grupo de Lie y el subgrupo es cerrado, como ocurre en este ejemplo, la estructura diferenciable del grupo original desciende naturalmente al conjunto cociente, convirtiéndolo de nuevo en un grupo de Lie.

Nótese que nuestro grupo no es el único subgrupo que es isomorfo a $U(1)$ Así que, sin contexto, la notación $U(N)\times U(N)/U(1)$ estrictamente hablando es ambigua.

Su suposición sobre la dimensión del grupo de simetría completo es correcta: cuando se factoriza un $m$ -de un subgrupo de dimensiones $n$ -grupo de dimensiones, el cociente es $(n - m)$ -dimensional.

El subgrupo diagonal $A = B$ es un subgrupo de este grupo cociente . Si quieres olvidarte de todo lo anterior, también podrías razonar de nuevo que los elementos de este otro grupo $H$ que es un subgrupo del subgrupo diagonal completo, actúa trivialmente. Sus cuentas de dimensión me parecen correctas.

Answer 2

El cociente $G/H$ es un sistema de cosets de manera que para $h~\in~H$ y $g$ un conjunto de elementos del grupo en el $gh~\in~H$ para los cosets de la izquierda y $hg~\in~H$ . Entonces tenemos $gH~=~Hg$ o que el subgrupo $H$ es un subgrupo normal. Así que para $SU(n)/U(1)$ podemos ver $SU(2)$ y $SU(3)$ . Las matrices de Pauli $\sigma_i,~i~=~1,2,3$ generan transformaciones de la forma $$g_i~=~exp\left(-\frac{i}{2}\sigma_i\theta_i\right).$$ y ahora podemos considerar el elemento $h~=~exp(i\tau\phi)$ que se conmuta con esto. Considere los ángulos pequeños para que tengamos $g_i~=~1~+~\frac{i}{2}\sigma_i\theta_i$ y $h~=~1~+~i\tau\phi$ y el conmutador conduce a un conmutador de los elementos de la estructura $[\sigma_i,~\tau]~=~0$ y vemos que el generador del $U(1)$ es una de las matrices de Pauli, donde la elección de $\sigma_3$ es el centro de Cartan que es el centro abeliano. El $\sigma_3$ Los elementos definen los estados propios de un sistema, como el estado de espín de un electrón isospín de una partícula.

Para $SU(3)$ tenemos las matrices centrales de Cartan $$\lambda_3~=~\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 &0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),~ \lambda_8~=~\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$$ Del mismo modo, tenemos para $SU(3)$ elementos del grupo $g_i~=~exp\left(\frac{i}{2}\lambda_i\theta\right)$ que para $i~=~3,~8$ allí las matrices de Cartan son $U(1)$ . El cociente es entonces una forma de "conmutar" un conjunto de valores propios. En cierto modo, podemos pensar en esto como una especie de degeneración que se impone al sistema.

Para $G\times G'/H$ tenemos dos elementos de grupo, aunque $G~\simeq~G'$ que actúan sobre $H$ de manera que para $g_1~\in~G$ y $g_2~\in~G'$ entonces $g_1g_2H~=~Hg_1g_2$ . Podemos pensar en esto como $$g_1g_2Hg^\dagger_2g^\dagger_1~=~H,$$ Está claro que en el medio que $g_1(g_2Hg^\dagger_2)g^\dagger_1~=$ $g_1Hg^\dagger_1~=~h$ y esto significa que tenemos una situación de coset con un elemento abeliano del centro de Cartan de $G\times G'$ . esto también significa que $U(n)\times U(n)/U(1)$ hay una dimensión eliminada al igual que con $U(n)/U(1)$