función continua de existencia$f:X\to [0,1]$ tal que$f(x_1)=0 , f(x_2)=\frac{1}{2}, f(x_3)=1$

Question

Permita que$X$ sea un espacio topológico normal de Hausdorff y$x_1, x_2, x_3$ sean tres puntos distintos. Probar que exista una función continua$f:X\to [0,1]$ tal que$f(x_1)=0 , f(x_2)=\frac{1}{2}, f(x_3)=1$

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Creo que el lema de Urysohn será útil aquí.

Por el Lema de Urysohn existe una función continua$f:X\to [0,1]$ tal que$f(x_1)=0 , f(x_3)=1$ y además existe una función continua$g:X\to [0,1/2]$ tal que$g(x_1)=0 , g(x_2)=1/2$. Pero, ¿cómo puedo agregarlos para obtener una sola función?

Answer 1

Hay muchas maneras de hacerlo. Dadas $x_1,x_2, x_3$, existen funciones $f_1,f_2:X \to [0,1]$ tal que #% el %#% y $f_1(x_1) = 0, f_1(x_2) = 1$. Entonces satisface a $f_2(x_3) = 0, f_2(x_2) = 1$ definidas en $f:X \to [0,1]$ $f(x) = f_1(x)f_2(x)$ y $f(x_1)= f(x_3) = 0$.

Por un procedimiento similar, podemos encontrar un $f(x_2) = 1$ tal que $g:X\to[0,1]$ y $g(x_1)= g(x_2) = 0$.

La función $g(x_3) = 1$ cumple los requisitos.

Answer 2

Por lema de Urysonh y desde $X$ es $T_1$ usted puede obtener un continuo $f:X\rightarrow [0,1/2]$ tal que $f(x_1)=0,f(x_2)=1/2$ y $f(x_3)=0$; ${x_1,x_3}$ está cerrado y entonces el $g:X\rightarrow [0,1]$ $f(x_1)=0,f(x_2)=0$ y $f(x_3)=1$, ahora usted puede agregar estas funciones.