¿Cuándo se puede integrar un derivado?

Question

Digamos que tengo una expresión $$\frac{d}{dt}f = g$ $ donde el derivado se toma en un sentido débil (de distribución). Puedo integrarlo de $0$ $t_0$ y obtener$$ f(t_0) - f(0) = \int_0^{t_0}g?

¿El derivado necesita una clásica para hacer eso?

Answer 1

En la cara de ella, $g$ tendría que ser una función, y de preferencia en $L^1$ (o, al menos, en $L^1_{\mathrm{loc}}$). La condición para que esto resulta ser que $f$ ser absolutamente continuas. (Editado para añadir: continuidad Absoluta aquí significa que para cualquier $\varepsilon>0$ hay algo de $\delta>0$, de modo que, para cualquier conjunto finito de intervalos no se solapan $[a_k,b_k]$$\sum_k|b_k-a_k|<\delta$,$\sum_k|f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon$.)

Con una adecuada interpretación, $g$ podría ser una firma de medida, y $f$ una función de variación acotada. Usted necesita tener cuidado acerca de los extremos de los intervalos en los puntos donde $f$ tiene un salto de discontinuidad (o $g$ tiene un punto de masa), pero estos puntos son sólo countably muchos.