Por lo tanto, estoy tratando de mostrar que $T^{**}\circ \varphi_1 = \varphi_2\circ T$ donde$\varphi_1 : T\rightarrow V^{**}$$\varphi_2 : W\rightarrow W^{**}$. También, $T^{**} : V^{**}\rightarrow W^{**}$, y si $V$ $W$ son finitos tridimensional de espacios vectoriales de un campo de $\mathbb{F}$.
Se parece a seguir dado el siguiente diagrama $\require{AMScd}$ \begin{CD} V @>\varphi_1>>V^{**} \\ @VTVV @VVT^{**}V \\ W @>>\varphi_2> W^{**}, \end{CD}
pero me debe mostrar a través de múltiples equivalencia de las definiciones. Asumo $T^{**}=(T^*)^*$, por lo que esto no significa que $T^{**}\circ \varphi_1=(T^*)^*\circ \varphi_1=\varphi_1\circ T^*$, pero, a continuación, $T^*$ toma elementos $w^*\in W^*$ y asigna a $V^*$, lo que significa que $\varphi_1$ está tomando como una entrada de algo de $V^*$, pero $\varphi_1$ toma elementos de$V$$V^*$. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Así, alguien puso esto como una respuesta a la pregunta anterior:
Supongo que $\phi_1 : V \to V^{\ast\ast}$ $\phi_2 : W \to W^{\ast\ast}$ son de la canónica de isomorphisms dada por $$ \phi_1(v) := \left(V^\ast \ni f \mapsto f(v)\right) \quad \phi_2(w) := \left(W^\ast \ni g \mapsto g(w) \right). $$ En ese caso, entonces, para cualquier $v \in V$, $g \in W^{\ast}$, $$ (\phi_2 \circ T)(v)(g) \desbordado{1}{=} \phi_2(Tv)(g) \desbordado{2}{=} g(Tv) \desbordado{3}{=} (T^\ast g)(v) \desbordado{4}{=} \phi_1(v)(T^\ast g) \desbordado{5}{=} T^{\ast\ast}(\phi_1(v))(g) \desbordado{6}{=} (T^{\ast\ast}\circ \phi_1)(v)(g), $$ simplemente por la aplicación de las definiciones pertinentes contenidas en repetidas ocasiones.
Pero, me gustaría una explicación detallada de cada paso $1-6$ si es posible.
