¿Es el libro Variables complejas de Carlos A Berenstein y Roger Gay ¿es un buen libro para un segundo curso, más riguroso, de análisis complejo? Mi primer curso, aunque me encantaron las aplicaciones a la teoría analítica de números, me pareció árido y soso en su análisis, ya que sólo daban definiciones. Este libro parece ser uno de su clase ya que habla de topología algebraica, álgebra homológica y teoría de gavillas mientras desarrolla el análisis complejo a partir de la definición de una función holomorfa (da una muy buena razón del álgebra lineal de por qué tenemos la definición de una función holomorfa de la manera que lo hacemos). No puedo encontrar ninguna reseña ni nada sobre este libro, excepto una respuesta en el página . ¿Es este un buen libro para leer o hay alguno similar que cubra un enfoque moderno como este? (Por cierto mi primer texto del curso fue Análisis complejo de Elias M. Stein que leí hasta el capítulo 7).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que se trata de un libro desafiante y muy legible, que merece un estudio detallado.
Para hacerse una idea del contenido del libro, los autores escriben en el prefacio:
... no sólo el análisis complejo en varias variables, sino también la teoría de los números, el análisis armónico y otras ramas de las matemáticas, tanto puras como aplicadas, han exigido una reconsideración de la continuación analítica, las ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo, el análisis asintótico, la iteración de las funciones holomorfas y muchos otros temas de la teoría clásica de las funciones de una variable compleja.
Este replanteamiento continuo nos llevó a pensar que había que escribir un libro de texto que incorporara algunas de estas nuevas perspectivas y técnicas. En particular, pensamos que la introducción de ideas del álgebra homológica, la topología algebraica, la teoría de gavillas y la teoría de las distribuciones, junto con el uso sistemático del método Cauchy-Riemann $\overline{\partial}$ -eran esenciales para una comprensión completa de las propiedades y aplicaciones de las funciones holomorfas de una variable.
Requisitos previos, el lector debe saber:
... Hemos intentado que este libro sea autocontenido y accesible para los estudiantes de posgrado, y que al mismo tiempo llegue bastante lejos en los temas considerados.
Por ello, asumimos principalmente los conocimientos que se encuentran en el plan de estudios de grado, como el álgebra lineal elemental, el cálculo y la topología de conjuntos de puntos para el plano complejo y la esfera bidimensional $S^2$ .
Más allá de esto, asumimos que estamos familiarizados con los espacios métricos, el teorema de Hahn-Banach y la teoría de la integración, tal y como se puede encontrar en muchos textos introductorios de análisis real. Siempre que hemos considerado que un tema no es universalmente conocido, hemos dado una breve reseña del mismo.
Nota: A revisión de Nick Lord se ha publicado en la Gaceta Matemática, volumen 78, número 482.
