El menor número de $n$ -simples en una triangulación de la esfera

Question

Dejemos que $X$ sea un complejo simplicial homeomorfo a $S^n$ .

He demostrado que debe haber al menos $(n+2)$ vértices en $X$ y que debe haber al menos una $n$ -simplemente en $X$ .

Ahora quiero demostrar que hay al menos $(n+2)$ n-simples en $X$ .

Mi idea era asumir que hay menos de $(n+2)$ n-simples y luego demostrar que el mapa de frontera simplicial $\partial_n:C_n^{\Delta}(X)\to C_{n-1}^{\Delta}(X)$ es inyectiva, lo que contradice $H_n^{\Delta}(X)=\Bbb Z$ .

Esto rápidamente resultó ser muy desordenado y no estoy seguro de que sea la mejor manera de hacerlo.

Agradezco toda la ayuda.

Answer 1

Como ha dicho, debe haber al menos una $n$ -simplemente en $X$ Llámalo $\sigma$ . Este simplex tiene $n+1$ caras $f_0,\dots, f_n,$ con la cara $f_i$ siendo opuesto al vértice $v_i$ de $\sigma$ . Debido a la topología local de un $n$ -manifiesto, cada uno $f_i$ es la intersección de $\sigma$ y otro $n$ -simplemente $\sigma_i$ que no contiene $v_i$ . Dado que todos los demás $\sigma_j$ se cruza con $\sigma$ en $f_j$ contiene $v_i$ y, por lo tanto, es distinto de $\sigma_i$ . Esto demuestra que hay $n+2$ $n$ -simples $\sigma, \sigma_0,\sigma_1,\dots,\sigma_n$ .