Por qué $\tan x>\sin x$ en esta pregunta?

Question

La pregunta me pide que demuestre la identidad $\tan ^2x-\sin ^2x=\tan^2 x \sin^2 x$ y utilizar este resultado para explicar por qué $\tan x>\sin x$ para $0<x<90$

He probado la identidad y no puedo explicar la segunda parte. ¿Alguien me lo puede explicar? Muchas gracias.

Answer 1

Desde $\tan^2 x\sin^2 x\gt 0$ en nuestro intervalo, se deduce que $\tan^2 x-\sin^2 x$ es positivo. Así $\tan^2 x\gt \sin^2 x$ . Porque $\tan x$ y $\sin x$ son positivos en nuestro intervalo, tenemos $$\tan x=\sqrt{\tan^2 x}\gt \sqrt{\sin^2 x}=\sin x.$$

Answer 2

Alternativamente, factoriza el lado izquierdo:

$$\tan^2(x) - \sin^2(x) = (\tan x - \sin x)(\tan x + \sin x).$$

Como el lado derecho es positivo, esta expresión también debe ser positiva. Ciertamente, ambos $\tan x$ y $\sin x$ son positivos en esta región, por lo que $\sin x + \tan x$ también lo es. Así $\tan x - \sin x$ tiene que ser positivo, de lo contrario el LHS sería negativo.