Recuerde que la definición de "uniformemente continua":
$f(x)$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$ si y sólo si para cada a $\epsilon\gt 0$ existe $\delta\gt 0$ tal que para todos los $x,y\in [0,\infty)$ si $|x-y|\lt \delta$,$|f(x)-f(y)|\lt \epsilon$.
También sabemos que el límite existe. Llame
$$\lim_{x\to\infty}f(x) = L.$$
Eso significa que:
Para cada $\varepsilon\gt 0$ existe $N\gt 0$ (que depende de la $\varepsilon$) de tal forma que si $x\gt N$,$|f(x)-L|\lt \varepsilon$.
Finalmente, usted probablemente sabe que si $f(x)$ es continua en un finito intervalo cerrado, entonces es uniformemente continua en dicho intervalo.
Así: vamos a $\epsilon\gt 0$. Tenemos que mostrar que existe $\delta\gt0$ tal que para todos los $x,y\in [0,\infty)$ si $|x-y|\lt \delta$,$|f(x)-f(y)|\lt\epsilon$.
Se utiliza por primera vez un truco común: si sabes que cualquier valor de $f(x)$ en algún intervalo es dentro de$k$$L$, entonces usted sabe que alguno de los dos valores de $f(x)$ en ese intervalo están dentro de $2k$ de cada uno de los otros: porque si $|f(x)-L|\lt k$$|f(y)-L|\lt k$, luego
$$|f(x)-f(y)| = |f(x)-L + L-f(y)| \leq |f(x)-L| + |L-f(y)| \lt k+k = 2k.$$
Así: pick $N\gt 0$ tal que para todo $x\gt N$, $|f(x)-L|\lt \epsilon/2$. Eso significa que si $x,y\gt N$,$|f(x)-f(y)|\lt \epsilon$, por el argumento anterior. Así que estamos "bien" si tanto $x$ $y$ son mayores de $N$.
Ahora, sólo necesitamos que preocuparse de lo que sucede si $x$$y$$[0,N]$, de ir a uno de $x$ $y$ $[0,N]$ y el otro está en el $(N,\infty)$.
Por tanto en las $[0,N]$, estamos de enhorabuena: desde $f$ es continua en a $[0,\infty)$, entonces es continua en el finito intervalo cerrado $[0,N]$, por lo tanto es uniformemente continua allí. Así que sabemos que existe $\delta_1\gt 0$ tal que para todos los $x,y\in [0,N]$ si $|x-y|\lt\delta_1$, luego tenemos a $|f(x)-f(y)|\lt \epsilon$. Tan sólo tenemos que asegurar que $x$ $y$ están dentro de $\delta_1$ de cada uno de los otros; que garantice la desigualdad que queremos si $x$ $y$ están en $[0,N]$, o si ambas están en $(N,\infty)$.
Ahora nos encontramos con un pequeño problema: lo que si, por ejemplo, $x\in [0,N]$$y\in (N,\infty)$? Bueno, ya $f$ es continua en a $N$, sabemos que podemos asegurar que $f(x)$ $f(y)$ son ambos tan cerca como queramos $f(N)$ que $x$ $y$ están muy cerca a $N$. Pero si $x$ $y$ están dentro de algunos $\ell$$N$, luego están dentro de $2\ell$ de cada uno de los otros (el mismo argumento que antes); y si $f(x)$ $f(y)$ están dentro de algunos $k$$f(N)$, entonces van a ser dentro de $2k$ de cada uno de los otros.
Así: vamos a $\delta_2$ ser tal que si $|a-N|\lt\delta_2$,$|f(a)-f(N)|\lt \epsilon/2$. Entonces, si $x$ $y$ están dentro de $\delta_2$$N$,$|f(x)-f(y)|\lt \epsilon$, y vamos a estar bien.
En resumen: queremos seleccionar un $\delta\gt 0$ que se asegurará de que si $|x-y|\lt\delta$, entonces:
- Si $x$ $y$ menos de $N$,$|x-y|\lt \delta_1$;
- Si $x$ $y$ más grande que el $N$, entonces no importa qué tan cerca el uno del otro; y
- Si uno de $x$ $y$ es de menos de $N$ y el otro es mayor que $N$, entonces cada uno de ellos está dentro de$\delta_2$$N$.
Para asegurarse de que la primera condición ocurre, necesitamos asegurarnos de que $\delta\leq\delta_1$. La segunda condición es fácil. Lo que debemos exigir de $\delta$ en orden para la segunda condición? Si podemos encontrar una $\delta$ que hace las tres cosas, sucede al mismo tiempo, vamos a hacer.
