Cierre del espacio de Schwartz en espacio homogéneo de Besov

Question

Deje $\dot{B}^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$ denotar la homogeneidad de Besov espacio de orden $s$ con el segundo y tercer índice $\infty$, yo. e. la homogeneidad de Zygmund espacio. Deje $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ denotar el espacio de Schwartz de decayendo rápidamente funciones.

Se sabe que $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ no es denso en $\dot{B}^0_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$. También se sabe que $\dot{B}^0_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$ es stricly más grande que el espacio de Lebesgue $L_\infty(\mathbb{R}^d)$.

Mi pregunta es la siguiente: ¿estamos obligados a la $L_\infty$-norma de un Schwartz función de $f$ su $\dot{B}^0_{\infty,\infty}$-norma? En otras palabras, hay una constante $C>0$ tal que $$\|f\|_{L_\infty(\mathbb{R}^d)}\leq C\|f\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)}$$ para cada $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$? Un poco más débiles de la declaración sería si hay una constante $C>0$ y algunos arbitrariamente grande, $s>0$ tal que $$\|f\|_{L_\infty(\mathbb{R}^d)}\leq C\|f\|_{\dot{B}^0_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)}+C\|f\|_{\dot{B}^s_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)}$$ para cada $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$.

La interpolación de la teoría nos dice que si uno reemplaza $\dot{B}^0_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$ en la declaración de $\dot{B}^{-\varepsilon}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$ algunos $\varepsilon>0$ luego de la última desigualdad se cumple para todos los $f\in\dot{B}^{-\varepsilon}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)\cap \dot{B}^{s}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$. Sin embargo, $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ no es denso en $\dot{B}^{-\varepsilon}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)\cap \dot{B}^{s}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^d)$, por lo que aún puede haber cierto margen de mejora. También, si se reemplaza la homogeneidad de los espacios de Besov por encima de sus homogénea contrapartes, a continuación, al menos la última afirmación se sostiene por la Sobolev incrustación Teorema.

Answer 1

$\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ Es una función de clase de Schwartz satisfactoria

1. el apoyo de $\varphi$ se encuentra en ${ \omega : 2^{-1} \leq |\omega| \leq 2 }$
2. $\varphi(\omega)>0$ $2^{-1}
3. $\sum_{k\in\mathbb{Z} } \varphi(2^{-k}\omega) =1$ $\omega \neq 0$

Definir\begin{equation} \widehat{f}N (\omega) = \sum{k=-N}^{N} a_k 2^{-kn} \varphi(2^{-k}\omega), \quad a_k\geq 0 \end{ecuación } entonces\begin{align} | fN |{L\infty} &= \int{\mathbb{R}^d} \sum_{k=-N}^N ak 2^{-kn} \varphi(2^{-N}\omega) d\omega\ &= \left( \int{\mathbb{R}^d} \varphi(\omega) d\omega \right) \left( \sum_{k=-N}^N a_k \right) \end{align} y \begin{align} | fN |{\dot{B}{\infty,\infty}^s} &= \sup{k'\in \mathbb{Z}} 2^{sk'} \int{\mathbb{R}^d} \left( \sum{k=-N}^N ak 2^{-kn} \varphi(2^{-k}\omega) \right) \varphi(2^{-k'}\omega) d\omega\ &= \sup{k'\in \mathbb{Z}} 2^{sk'} \sum_{k=-N}^N ak \int{\mathbb{R}^d} \varphi(\omega) \varphi(2^{-k'+k}\omega) d\omega\ &\leq \sup{|k'|\leq N+2} 2^{sk'} \sum{k=k'-1}^{k'+1} ak \int{\mathbb{R}^d} \varphi(\omega) \varphi(2^{-k'+k}\omega) d\omega\ &\leq \left( \int{\mathbb{R}^d} \varphi(\omega) d\omega \right) \sup{|k'|\leq N+2} 2^{sk'} (a{k'-1}+a{k'}+a_{k'+1}) \ \end{align}

Definir la secuencia $a_k$ como sigue: $a_k=0$ $k\geq 0$; $a_k=-1/k$ $k

Vemos $| fN |{L_\infty}\rightarrow \infty$ $N\rightarrow \infty$, mientras que limita $| fN |{\dot{B}_{\infty,\infty}^s}$.