Fracción continua conjeturada para la fracción continua generalizada de Rogers-Ramanujan

Question

Dada la siguiente fracción generalizada de Rogers-Ramanujan, con$|q|\lt1$, que es la ecuación (38) en mathworld

$F(a,q)=1-\cfrac{aq}{1-\cfrac{aq^2}{1-\cfrac{aq^3}{1-\cfrac{aq^4}{1-\cfrac{aq^{5}}{1-\cfrac{aq^{6}}{1-\dots}}}}}}\tag1$

donde$$F(a,q)=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)^n q^{n^2}}{(q)_{n}}}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)^n q^{n(n+1)}}{(q)_{n}}}\tag2$ $

se conjetura que es equivalente a la siguiente fracción continua

$H(a,q)= \cfrac{1}{1+\cfrac{aq}{1-\cfrac{aq}{1-\cfrac{q}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{aq^2}{1-\cfrac{aq^{2}}{1-\cfrac{q^{2}}{1+\cfrac{q^{2}}{1+\cfrac{aq^3}{1-\cfrac{aq^3}{1-\dots}}}}}}}}}}}\tag3$

¿Cómo probamos$F(a,q)\overset{\color{red}?}=H(a,q)$

Answer 1

De hecho, como se sugiere por Nemo en su comentario,la costumbre Generalizada Rogers-Ramanujan continuó fracción $F(a,q)$ es el raro de parte de $H(a,q)$, de acuerdo a las fórmulas de wikipedia,por lo $H(a,q)$ es una extensión de $F(a,q)$

Además la parte de $\frac{1}{H(-a,q)}$ puede ser determinado

$G(a,q)=\cfrac{1}{1-aq+}\cfrac{(aq)^{2}}{1+aq-q+}\cfrac{q^{2}}{1+q-aq^2+}\cfrac{(aq^2)^{2}}{1+aq^2-q^2+}\cfrac{q^{4}}{1+q^2-aq^3+}\cfrac{(aq^3)^{2}}{1+aq^3-q^3+}\cfrac{q^{6}}{1+q^3-aq^4+}\cdots$

que converge a la misma valor como$\frac{1}{F(-a,q)}$$\frac{1}{H(-a,q)}$, cuando se $|q|\lt1$

Por lo tanto $$G(a,q)=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)^n q^{n(n+1)}}{(q)_{n}}}{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)^n q^{n^2}}{(q)_{n}}}$$

lo que nos lleva a otro continuó fracción equivalente a la RRCF

$$\cfrac{q^{1/5}}{1-q+}\cfrac{q^{2}}{1+}\cfrac{q^{2}}{1+q-q^2+}\cfrac{q^{4}}{1+}\cfrac{q^{4}}{1+q^2-q^3+}\cfrac{q^{6}}{1+}\cfrac{q^{6}}{1+q^3-q^4+}\cdots=q^{1/5}\frac{(q;q^5)_{\infty}(q^4;q^5)_{\infty}}{(q^2;q^5)_{\infty}(q^3;q^5)_{\infty}}$$

con el uso de la notación $$\cfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cfrac{a_{2}}{b_{2}+}\cfrac{a_{3}}{b_{3}+}\cdots$$

en lugar de $$\cfrac{a_{1}}{b_{1} + \cfrac{a_{2}}{b_{2} + \cfrac{a_{3}}{b_{3} + \cdots}}}$$

lo que ocupa mucho más espacio que el necesario