Series de Laurent de funciones algebraicas

Question

Considerar la función

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{a^2-z^2}+b\sqrt{c^2-z^2}}.$$

Tiene poste

$$z = \frac{\sqrt{b^2 c^2 - a^2}}{\sqrt{b^2-1}}$$ .

Quiero encontrar Laurent serie de $f$ alrededor del punto singular.

Para $b=1$ Puse $f$ en fracción parcial a proceder.

Cómo encontrar la serie Laurent para $b \ne 1$ ?

Answer 1

Pista: $$ \frac{1}{\sqrt{a^2-z^2}+b\sqrt{c^2-z^2}}=\frac{\sqrt{a^2-z^2}-b\sqrt{c^2-z^2}}{a^2-z^2-b^2(c^2-z^2)}=\frac{\sqrt{a^2-z_0^2-(z^2-z_0^2)}-b\sqrt{c^2-z_0^2-(z^2-z_0^2)}}{(b^2-1)(z^2-z_0^2)}, $$ donde $$ z_0 = \frac{\sqrt{b^2 c^2 - a^2}}{\sqrt{b^2-1}}. $$