La desigualdad$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+3/4 >0$ se cumple para todos$x\in\mathbb R$

Question

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$\forall \ x \in \mathbb{R}:\quad x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+\dfrac{3}{4}>0$

Mis intentos:

Caso $x=-1$

Que es válido para este caso

A continuación, para $x \neq - 1$:

$$\dfrac 3 4 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 = \dfrac{1 + x^7}{1 + x} - \dfrac 1 4$$

deje $g(x)=\dfrac{1 + x^{7}}{1 + x}-\dfrac{1}{4} \quad \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{-1\}$ entonces $ \begin{align*} g'(x)&=\dfrac {(1+x^7)'(1+x)-(1+x)'(1+x^7)}{(1 + x)^2} \quad \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{-1\}\\ g'(x)&=\dfrac {(7 x^6)(1+x)-(1+x^7)}{(1 + x)^2} \quad \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{-1\}\\ g'(x)&=\dfrac {7 x^6+7 x^7-1-x^7)}{(1 + x)^2} \quad \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{-1\}\\ g'(x)&=\dfrac{7 x^6+6 x^7-1}{(1 + x)^2} \quad \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{-1\} \end{align*} $

Para determinar el signo del numerador $(7 x^6+6 x^7-1)$ una vez que el tiempo vamos a :$ h(x)=7 x^6+6 x^7-1$ entonces

$$h'(x)=42x^5+42x^6=42(1+x)x^5$$ $$h'(x)=0 \Longleftrightarrow x=-1 \text{or} x=0$$

por lo tanto $h$ admite un mínimo en el punto de $x=0$ y un máximo en el punto de $x=-1$

o $h(-1)=0$ $h(0)=-1$

$\lim_{x\to -\infty}h(x)=-\infty$ $\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$ como $h(-1)=0$ $h(0)=-1$ por el teorema del valor Intermedio no es $u \in(-1, 0)$ tal que h(u) = 0. estoy atascado aquí

• estoy en mi camino ?
• hay otras maneras para resolverlo

Answer 1

Puede escribir su expresión como$$x(x-1)(x^4+x^2+1)+\frac{3}{4}\ .$ $ Ahora considere$x(x-1)(x^4+x^2+1)$: el tercer factor siempre es positivo, por lo tanto, el conjunto asume valores negativos solo para$x\in(0,1)$. En este intervalo,$x(x-1)$ es negativo y$x^4+x^2+1<3$. El mínimo de$x(x-1)$ en$(0,1)$ es$-\frac{1}{4}$ para$x=\frac{1}{2}$, por lo tanto, tiene$$x(x-1)(x^4+x^2+1)>-\frac{3}{4}$ $

Para$x\not\in(0,1)$$x(x-1)(x^4+x^2+1)\geq 0$, así que está bien.

Answer 2

Otra forma: Sume los AM-GM obvios:$$\tfrac12 x^6 + \tfrac12 x^4 \ge x^5, \quad \tfrac12 x^4 + \tfrac12 x^2 \ge x^3$ $$$\tfrac12 x^2 + \tfrac34 \ge \sqrt{\tfrac32}|x| \ge x \implies \tfrac12 x^2 + \tfrac34 > x$ $ con$\frac12x^6 \ge 0$.

Answer 3

Otra manera sería probar $(1 + x^7) - {1 \over 4}(1 + x) > 0$$x > -1$, e $(1 + x^7) - {1 \over 4}(1 + x) < 0$$x < -1$, utilizando el cálculo de $f(x) = (1 + x^7) - {1 \over 4}(1 + x) = x^7 - {1 \over 4}x + {3 \over 4}$. Desde $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$, necesitamos mostrar el mínimo de $f(x)$ $x > -1$ es positivo y el máximo de $f(x)$ $x < -1$ es negativo.

Uno ha $f'(x) = 7x^6 - {1 \over 4}$, que es igual a cero en $x = \pm (28)^{-{1 \over 6}}$, ambos de los cuales son mayores que las de $-1$. Por lo tanto $f$ es el aumento de $x > -1$, por lo que desde $f(-1) = 0$, esto le da a la $x < -1$ part.

Como para $x > -1$, tenga en cuenta que $f''(x) = 28x^5$, lo cual es positivo en $x = (28)^{-{1 \over 6}}$ y negativa en $-(28)^{-{1 \over 6}}$. Por lo $f$ tiene un mínimo local en a $x = (28)^{-{1 \over 6}}$ y un máximo local en a $x = -(28)^{-{1 \over 6}}$. Así que sólo tienes que conectar en los valores de $x = -1$ (en el extremo izquierdo) y $x = (28)^{-{1 \over 6}}$ (el mínimo). Vimos $f(-1) = 0$, y de conectar $x = (28)^{-{1 \over 6}}$ da $(28)^{-{7 \over 6}} - {1 \over 4} (28)^{-{1 \over 6}} + {3 \over 4} = .62..$ lo cual es positivo. Por lo $f(x)$ es positivo para $x > -1$.