¿Hay soluciones en$\mathbb{Q}-\mathbb{Z}$ a$X^2+2y^2=1$?
Estoy bastante seguro de que no hay pero no estoy seguro de cómo mostrar esto. No tengo mucha experiencia (todavía) con$p$ - adics.
Respuestas
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Sí, hay soluciones. Por ejemplo $({7 \over 11}, {6 \over 11})$ lo soluciona. En general se puede encontrar este tipo de soluciones al $x^2 + ry^2 = 1$ $r$ sea un número racional. Uno puede hacer esto mediante la intersección de una línea $ax + by = c$con $(1,0)$ ($a,b,$ y $c$ racional) con su elipse $x^2 + ry^2 = 1$; el segundo punto de intersección también tendrá coordenadas racionales. Desde entonces solamente finito muchas de ellas tendrán una coordenada entero el resto de los puntos tendrá ambos sus entradas en $Q - Z$.
YequalsX
Puntos
320
Sí. Por ejemplo, $X = 1/3$, $Y = 2/3$.
[Añadido: llevar a cabo el procedimiento sugerido en la respuesta de Zaricuses, es decir, cruzando la línea con pendiente $-p/q$ a través de $(1,0)$ con la cónica $X^2 + 2 Y^2 =1$, encontramos que la solución general es $X = (2p^2 - q^2)/(2 p^2 + q^2), Y = 2pq/(2 p^2 + q^2).$ la solución anterior forma tomando $p = 1, q = 1$. La solución en la respuesta de Zaricuse viene de que $p = 3, q = 2$.]
