¿Es una acción?

Question

Supongamos que usted tiene un cierto grupo de $G$ que actúa sobre un conjunto $S$ bajo la acción $\cdot: G \curvearrowright S$, y entonces usted tiene un conjunto de todas las funciones $T = \{ f: S \to \mathbb{C} \}$. Quiero definir una acción $*: G \curvearrowright T$.

Deje $\omega_g: s \in S \mapsto g \cdot s$, entonces quiero definir $g * f(x) = f(g \cdot x)$. Este parece ser asociativa:

$a * ( b * f(x)) = a *(f(b \cdot x)) = f(a\cdot (b \cdot x)) = f((ab) \cdot x) = ab * f(x)$

Sin embargo, cuando intento escribir esta acción en términos de $\omega_g$ se vuelve problemático (voy a denotar la acción aquí por $\times$ para mayor claridad)

$a \times ( b \times f(x)) = a \times ( f \circ \omega_b) = (f \circ \omega_b) \circ \omega_a = f \circ \omega_{ba} = ba \times f(x)$

Estas dos acciones son, obviamente no es el mismo, pero me parece que no puede escribir mi primera acción en la $\omega_g$ notación.

Me pregunto si la primera acción es realmente una acción, o si la notación es ocultar algo que hace que no sea una acción. Por otra parte, ¿cómo puede ser escrito en la $\omega_g$ notación? Yo puedo arreglar el omega de la notación mediante la asignación a $\omega_{g^{-1}}$, pero, paradójicamente, no parece ser asociativa si puedo usar mi primera notación.

Answer 1

Su "propiedad asociativa" es incorrecta. De hecho, si $(g\ast f)(x):=f(g\cdot x)$

$$ (a\ast(b\ast f))(x)=(b\ast f)(a\cdot x)=f(b\cdot (a\cdot x)),$$

que es "hacia atrás". De hecho, si se definen $h(x)=f(b\cdot x)=(b\ast f)(x)$

$$ (a\ast (b\ast f))(x)=(a\ast h)(x)=h(a\cdot x)=f(b\cdot (a\cdot x)). $$

La razón de las cosas mirar hacia atrás es que $(g\ast f)(x):=f(g\cdot x)$ no define una a la izquierda de la acción de $G$ sobre la función de espacio de $T$, se define un derecho de acción. Sería mejor escribir $(f\ast g)(x)=f(gx)$.

Más a menudo, las fuentes que se van a definir a la izquierda de la acción de $G$ $T$ través $(g\ast f)(x):=f(g^{-1}\cdot x)$. Este es el llamado contragredient acción. Esta izquierda vs derecha cuestión es recurrente en algunos otros lugares...

Ejemplo 1. Considere la posibilidad de transformaciones de gráficas de funciones. Si comenzamos con un gráfico de $y=f(x)$, a continuación, mover hacia arriba o hacia abajo, respectivamente, nos gráfico de $y=f(x)+c$$y=f(x)-c$. Y sin embargo, contrario a la intuición, a mover el gráfico a la derecha por $c$ unidades (donde $c>0$), obtenemos el gráfico

$$\{(x+c,f(x)):x\in\mathbb{R}\}=\{(x,f(x-c)):x\in\mathbb{R}\}. $$

Es decir, para mover el gráfico a la derecha, tenemos la gráfica de $y=f(x\color{Red}{\mathbf{-}}c)$ a pesar de que en el número de la línea sabemos que $x\mapsto x+c$ se mueve a la derecha y $x\mapsto x-c$ se mueve a la izquierda. Este problema confunde a muchos a un estudiante de álgebra universitaria.

Ejemplo 2. Consideremos el conjunto a $[n]=\{1,\cdots,n\}$. A continuación, la función de espacio de $X^{[n]}$ puede ser identificado con el conjunto de $n$-tuplas con las entradas en $X$. (Cualquier función $f:[n]\to X$ puede ser pensado como la tupla $(f(1),\cdots,f(n))$ y viceversa.) Hay una acción del grupo simétrico de a $S_n$ $[n]$ el uso de permutaciones, y por lo tanto en la $n$-tuplas. Naturalmente, queremos que $\sigma\in S_n$ a permutar las coordenadas de una tupla de la misma manera que permutes $\{1,\cdots,n\}$. Así, por ejemplo, quisiéramos $\sigma=(123)$ enviar cambio de las entradas de $(x_1,x_2,x_3)$ rightwards, produciendo $(x_3,x_1,x_2)$. El problema es que esto no es $(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)})$, en su lugar, se $(x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},x_{\sigma^{-1}(3)})$.

Este ejemplo también se produce con $S_n$ actuando sobre el tensor de energía $V^{\otimes n}$. En mi experiencia he visto numerosos autores de libros de texto y notas de la conferencia error a la izquierda y a la derecha las acciones en este contexto.