La probabilidad en una partida de Contract Bridge

Question

En una partida de bridge por contrato, mi pareja y yo tenemos 11 cartas en una suite. Las 2 cartas restantes de la misma baraja se pueden distribuir entre nuestros oponentes como 1-1 o 2-0.

¿Cuál es la probabilidad de que se distribuya como 1-1 y cuál es la probabilidad de que se distribuya como 2-0?

Una vez resuelto lo anterior, cómo se puede ampliar si faltan más tarjetas. Es decir, supongamos que el compañero y yo tenemos 8 cartas entre los dos. ¿Cómo se calcula la probabilidad de las distribuciones (5-0, 4-1, 3-2)?

Answer 1

Puede utilizar la técnica de Espacios vacíos para calcular las probabilidades.

Durante el juego, si sabes que hay espacio para $\displaystyle x$ tarjetas desconocidas con West y $\displaystyle y$ cartas desconocidas con el Este, la probabilidad de que una carta específica esté con el Oeste es $\displaystyle x/(x+y)$ . Esto supone que se ignoran las tarjetas de los oponentes hasta el momento. Esto da resultados precisos al calcular el apriori probabilidades y da valores razonables durante el juego de la mano.

Entonces, digamos que quieres calcular la probabilidad apriori de una división 3-2.

Primero considere una tenencia específica, digamos (Q32 con el Oeste y 54 con el Este) y trate de calcular las posibilidades.

Posibilidades de que West obtenga la Q = 13/26.
Posibilidades de que West consiga el 3 = 12/25.
Posibilidades de que West obtenga el 2 = 11/24.

Probabilidades de que el Este obtenga el 5 = 13/23.
Posibilidades de que Oriente consiga el 4 = 12/22.

Por lo tanto, las posibilidades de la división específica Q32-54 es

$13/26 \times 12/25 \times 11/24 \times 13/23 \times 12/22$

Hay 5 elige 3 + 5 elige 2 = 20 divisiones de este tipo.

Por lo tanto, la probabilidad de división 3-2 es 20 veces

$13/26 \times 12/25 \times 11/24 \times 13/23 \times 12/22$

$= 0.678\dots$

Por lo tanto, hay un 67,8% de posibilidades de que se rompa el 3-2.

Una buena regla para recordar es que si hay un número impar de cartas pendientes, entonces lo más probable es que se repartan lo más equitativamente posible. Así, con 5 cartas pendientes, es más probable que se repartan 3-2 que 4-1 o 5-0.

Si hay un número par de cartas pendientes, entonces tienden a romperse de forma desigual.

Sin embargo, hay excepciones: con 2 cartas pendientes, la división 2-0 es menos probable que la 1-1.

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Ver:

Un artículo sobre los espacios vacíos: http://www.clairebridge.com/textes/vacantplaces.pdf

Calculadora de rotura de trajes de Pavlicek: http://www.rpbridge.net/xsb2.htm

Answer 2

El número de cartas del palo que recibe un determinado oponente se distribuye hipergeomtricamente . En su caso particular, $1-1$ es ligeramente más probable, con probabilidad $13/25 = 1/2 + 1/50$ . Esto no es sorprendente, ya que una vez que has conseguido una de las cartas, la probabilidad de que consigas otra disminuye, ya que entonces sólo hay una de ellas.

EDIT: La distribución hipergeométrica con parámetros $(N,m,n)$ se refiere a una situación en la que el universo está formado por $N$ tarjetas, $m$ de los cuales son especiales, y estás dibujando $n$ de ellos. La probabilidad de que el número de cartas especiales que robe sea $k$ es exactamente $$\frac{\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}},$$ ya que hay $\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}$ opciones para una mano con exactamente $k$ tarjetas especiales, y $\binom{N}{n}$ manos totales.

Para encontrar la distribución de $1-1$ , se enchufa $k=1$ . Para encontrar la distribución de $2-0$ , se enchufa $k=0$ y $k=2$ y añadir, ya que no te importa qué jugador se queda con ninguno y cuál con los dos.