¿Cómo evaluar...

Question

Estoy tratando de encontrar el radio de convergencia de la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{n!}x^n$ y han utilizado Wolfram Alpha que es $|x|

Estoy tratando de mostrar con el límite. Así que he simplificado el límite de a $\lim\limits_{n \to\infty} \left|\frac{(n+1)^n x^{(n+1)}}{n^n}\right|$ y no sé dónde ir desde allí.

Se agradecería cualquier ayuda o consejos.

Answer 1

Insinuación. Uno puede recordar que $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac1n \ right) ^ n = e. $$

Answer 2

Usa la fórmula de Stirling :

$$ n! \ sim \ sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ n $$

para ver eso: $$ \ frac {n ^ n} {n!} \ sim \ frac {e ^ nn ^ n} {\ sqrt {2 \ pi n} n ^ n} = \ frac {e ^ n} { \ sqrt {2 \ pi n}} $$

Necesita$r$ de manera que:

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n ^ nr ^ n} {n!} = 1 $$

y se ve que es$1/e$.

Answer 3

Por prueba de razón $$ lim_ {n \ a \ infty} | \ frac {a_ {n +1}} {a_n} | = \\ lim_ {n \ to \ infty} | \ frac {\ frac {x ^ {n +1} (n +1) ^ {n +1}} {(n +1)!}} {\ frac { x ^ {n} (n) ^ {n}} {(n)!}} | = \\ lim_ {n \ to \ infty} | x \ frac {(n +1) ^ n} {n ^ n} | = \\ lim_ {n \ to \ infty} | xe | = l \ left \ { \begin{matrix} {\color{Red} {l <1}} & convergence\\ l=1 & another \space test\\ l>1 & divergence \end {matriz} \ derecha. \\ {\ color {Red} {| ex | <1 \\ | x | <\ frac {1} {e}}} $$