Cómo comprobar que se trata de una subvariedad

Question

Vamos $ g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ , $ g (x, y) = (x^2-y^2, y) $ ser un mapa diferenciable. Deje $ r $ la línea que pasa a través de $(1, 0) $ paralelo a la $ y-$eje. Demostrar que $ g^{-1}(r) $ es un submanifold de $ \mathbb{R}^2 $

No tengo muchos instrumentos para demostrar este hecho, y la única teorema que implica la inversa de una diferencial de la función es este:

Teorema: Supongamos $ X, Y $ son colectores e $ f:X \to Y $ un mapa diferenciable. Deje $ y \in Y $. Si $ f $ es una inmersión en cada punto de $ f^{-1}(y) $, $ f^{-1}(y) $ es un submanifold.

Creo que este es el resultado de utilizar, sino $ r $ no es un punto de $\mathbb{R}^2 $, así que no sé si puedo usar el teorema. Tal vez hay algo más para que la use, pero estos son mis primeros ejercicios que incluyan colectores así que no tengo mucha práctica.

Answer 1

Tenga en cuenta que $r={(1,y)\,:\,y\in\mathbb{R}}\subset\mathbb{R}^2$. Por lo tanto

$$g^{-1}(r)={(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,g(x,y)\in r}={(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,x^2-y^2=1}$$

Definir $f(x,y)=x^2-y^2$, entonces el $g^{-1}(r)=f^{-1}(1)$. Ahora Compruebe el gradiente de $f$ y aplicar su teorema.