Ejemplo de una secuencia infinita de números irracionales convergiendo a un número racional.

Question

¿Existen algunos ejemplos buenos de secuencias infinitas de números irracionales que convergen a números racionales?

Una idea que tuve fue la secuencia: $ 0.1001000010000001\cdots,0.1101000110000001\cdots,\cdots,0.1111000110000001\cdots,$ etc.

Donde el primer término en la secuencia tiene unos en el lugar $i^2$ posiciones a la derecha del punto decimal. $(i=1,2,3,\dots)$ Para el segundo término, mantenemos todos los unos del primer término y agregamos uno en lugar del primer cero después del punto decimal. Luego agregamos unos $i^3$ lugares después del punto decimal. (La suma lógica 1+1=1, es decir, un número $i^2=j^3$ espacios después del punto decimal tiene el valor 1).

Es claro que esto convergerá a $1/9$, y no creo que la expansión decimal se repita en absoluto.

Answer 1

Elige cualquier número irracional $\alpha$ que te guste, luego considera la secuencia $\{x_n=\alpha/n\}_{n=1}^\infty$. Luego, cada término de la secuencia $x_n$ es irracional y converge a cero a medida que $n$ tiende a infinito.

Answer 2

¿Qué tal la secuencia $\sqrt{2}/n$, que converge a cero?

O si prefieres ver algún patrón en la expansión decimal, ¿qué tal $\frac{\sqrt{2}}{10^n}$ dando 0.141421..., 0.0141421..., 0.00141421... ?

Answer 3

$\large\sqrt[n]{n}$ es irracional cuando $n>1$, y $\lim\limits_{n\to\infty}\large\sqrt[n]{n}=1$.

Vea también la pregunta relacionada Existence of irrationals in arbitrary intervals.

Answer 4

Considera la secuencia:

$$a_n=\sqrt\frac1{n^2+1}$$

Answer 5

¿Qué quieres decir con bonito y mejor? un ejemplo es o correcto o incorrecto, no hay otra posibilidad. Pon un racional $q$ y toma la secuencia $q+\sqrt2/n$.