Una función impar satisfacción $g(1-t)+g(1+t)=-t$

Question

Estoy buscando un continuamente la función impar de diffferentiable $g$ tal que $$g(1+t)+g(1-t)=-t$$ for all $t\in\mathbb{R} $.

¿Es esto posible?

Answer 1

Si $t=1$, la ecuación reduce a $g(0)+g(2)=-1$. Si $t=-1$, reduce a $g(2)+g(0)=1$. Sigue que no podemos tener un $g$ como se desee, independientemente de si es continua, diferenciable o impar.

Answer 2

$g(1+t)+g(1-t) = g(1+t)-g(1) + g(1-t)-g(1) + 2 g(1) = -t$. Dividiendo en $t$ da $\frac{g(1+t)-g(1)}{t} - \frac{g(1-t)-g(1)}{-t} + 2 \frac{g(1)}{t} = -1$. Tomando límites da a $t \to 0$ $2 \lim_{t \to 0} \frac{g(1)}{t} = -1$, que es imposible ($g(1) =0$, que no puede ser o $g(1) \neq 0$, que no puede ser cualquiera). Por lo tanto no hay tal función existe.

Answer 3

Tratar de diferenciar y resolver $g$ de las dos ecuaciones resultantes. Ahora busque $g(1)$.