Prueba del problema: $V = \ker T \oplus \operatorname{im}T$

Question

Dejemos que $V$ sea un subespacio lineal finito y $T$ sea una transformación lineal definida así: $T:V \to V$ tal que $\ker T^2 \subseteq \ker T$

Pruébalo: $V = \ker T \oplus \operatorname{im}T$

Lo que hice es:

Se sabe que: $V = \operatorname{im}(T) + \ker(T)$ así que todo lo que necesito probar es eso:

$$\operatorname{im}(T) \cap \ker(T) = \{0\}$$

Así que dije que porque $V$ es finito:

$$\dim(V) =N$$ $$\dim(\operatorname{im}(T)) + \dim(\ker(T)) = N$$

Según el teorema de las dimensiones:

$$\begin{align*} \dim(\operatorname{im}(T) + \ker(T)) &= \dim(\operatorname{im}(T)) + \dim(\ker(T)) - \dim(\operatorname{im}(T) \cap \ker(T))\\\\ \dim(\operatorname{im}(T) \cap \ker(T)) &= \dim(\operatorname{im}(T)) + \dim(\ker(T)) - \dim(\operatorname{im}(T) + \ker(T)) \\\\ \dim(\operatorname{im}(T) \cap \ker(T)) &= 0 \end{align*}$$

Pero por alguna razón no usé el hecho de que $\ker T^2 \subseteq \ker T$ Así que debo haberme equivocado aquí.

¿Puede alguien ayudarme a entender cómo probarlo?

Gracias.

Answer 1

Por su respuesta parece pensar que $$\dim(\operatorname{im}(T)+\ker(T))=\dim(\operatorname{im}(T))+\dim(\ker(T));$$ pero, como se señala en los comentarios, esto no es necesariamente así (considere, por ejemplo, el mapa lineal $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ definida por la matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1\\0 &0 \end{pmatrix}$ , donde $$\operatorname{im}(T)=\ker(T)=\mathbb{R}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Para demostrar que $\operatorname{im}(T)\cap \ker(T)=\{0\}$ Considere un elemento $x\in \operatorname{im}(T)\cap \ker(T)$ Entonces $T(x)=0$ y $x=T(y)$ para algunos $y\in V$ . Así, $T^2(y)=T(x)=0$ , lo que significa que $y\in \ker(T^2)$ ya que $\ker(T^2)\subset \ker(T)$ , $y\in \ker(T)$ y por lo tanto $x=T(y)=0$ .