¿Cuándo es invertible una matriz dividida en bloques?

Question

Supongamos que tengo una matriz dividida en bloques \begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1^{\top}\mathbf{X}_1 & \mathbf{X}_1^{\top}\mathbf{X}_2 \\ \mathbf{X}_2^{\top}\mathbf{X}_1 & \mathbf{X}_2^{\top}\mathbf{X}_2 \\ \end{bmatrix} \end{equation} donde $\mathbf{X}_1$ es $G \times K_1$ y $\mathbf{X}_2$ es $G \times K_2$ . Por lo tanto, nuestra matriz dividida en bloques es igual al producto exterior $\begin{bmatrix} \mathbf{X}_1^{\top} \\ \mathbf{X}_2^{\top} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 & \mathbf{X}_2 \end{bmatrix}$ y es de dimensión $K \times K$ donde $K=K_1+K_2$ .

En general, ¿cuándo es invertible esta matriz dividida en bloques? ¿Existe una condición necesaria y suficiente?

Editar . Mi primer pensamiento es: para que la matriz dividida en bloques sea invertible, equivale a que cada uno de los cuatro bloques sea invertible. Sin embargo, ya no pienso así. Por ejemplo, si una de las diagonales, digamos la inferior izquierda, $\mathbf{X}_2^{\top}\mathbf{X}_1=\mathbf{0}$ la matriz podría seguir siendo invertible si los bloques de la diagonal lo son. Sin embargo, no puedo articular una prueba de ello, ¿alguien podría ayudar?

Gracias.

Answer 1

La matriz $$ Y:=X^TX, \quad X:=[X_1,X_2], $$ (que generalmente es semidefinido positivo) es invertible si $[X_1,X_2]$ tiene rango de columna completo.

Así que necesariamente, $X_1$ debe tener rango de columna completo. Sin embargo, el rango completo de $X_2$ no es suficiente para la no singularidad de $Y$ . De la fórmulas de inversión de bloques se deduce que

$X$ es invertible si $X_1$ tiene rango de columna completo y el complemento de Schur $$\tag{1}X_2^TX_2-X_2^TX_1(X_1^TX_1)^{-1}X_1^TX_2=X_2^T(I-X_1(X_1^TX_1)^{-1}X_1^T)X_2$$ es invertible.

La matriz $P_1:=I-X_1(X_1^TX_1)^{-1}X_1^T$ es un proyector ortogonal sobre el complemento del rango de $X_1$ es decir, el espacio nulo de $X_1^T$ . Desde $X_2^T(I-X_1(X_1^TX_1)^{-1}X_1^T)X_2=(P_1X_1)^T(P_1X_1)$ tenemos que (1) es invertible si $P_1X_1$ tiene rango de columna completo, es decir, las columnas de $X_1$ no se vuelven dependientes cuando se proyectan sobre el espacio nulo de $X_1^T$ .

Obsérvese que el mismo argumento puede hacerse con los índices $1$ y $2$ intercambiado.