Aquí otro método es el uso de la convolución de dos funciones de generación.
Observar que cuando multiplicamos dos exponenciales funciones de generación de
las secuencias de $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ obtenemos que
$$ A(z) B(z) = \sum_{n\ge 0} a_n \frac{z^n}{n!}
\sum_{n\ge 0} b_n \frac{z^n}{n!}
= \sum_{n\ge 0}
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\frac{1}{(n-k)!} a_k b_{n-k} z^n\\
= \sum_{n\ge 0}
\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} a_k b_{n-k} \frac{z^n}{n!}
= \sum_{n\ge 0}
\left(\sum_{k=0}^n {n\elegir k} a_k b_{n-k}\right)\frac{z^n}{n!}$$
es decir, el producto de las dos funciones de generación es la exponencial
la generación de la función de $$\sum_{k=0}^n {n\choose k} a_k b_{n-k}.$$
Re-escribir su suma como sigue:
$$\sum_{k=0}^n \frac{k\times (n!)^2}{(n+k)! (n-k)!}
= n! \sum_{k=0}^n {n\elegir k} \frac{k\times k!}{(n+k)!}.$$
Procedemos a evaluar la suma plazo.
En el presente caso tenemos
$$A(z) = \sum_{k\ge 0} \frac{k\times k!}{(n+k)!} \frac{z^k}{k!}
= \sum_{k\ge 1} \frac{k}{(n+k)!} z^k$$
y $$B(z) = \sum_{k\ge 0} \frac{z^k}{k!} = \exp(z).$$
Simplificando $A(z)$ vemos que está dada por
$a$z \sum_{k\ge 1} \frac{k}{(n+k)!} z^{k-1}
= z \frac{d}{dz} \sum_{k\ge 1} \frac{z^k}{(n+k)!}
= z \frac{d}{dz} \frac{1}{z^n} \sum_{k\ge 1} \frac{z^{n+k}}{(n+k)!}
= z \frac{d}{dz}
\frac{1}{z^n} \left(\exp(z)-\sum_{q=0}^n \frac{z^p}{q!}\right)
\\= z \times
\left(-\frac{n}{z^{n+1}}
\left(\exp(z)-\sum_{q=0}^n \frac{z^p}{q!}\right)
+\frac{1}{z^n}
\left(\exp(z)-\sum_{q=0}^{n-1} \frac{z^p}{q!}\right)\right).$$
Procedimiento para extraer los coeficientes de $A(z) B(z)$ tenemos
$$[z^n] A(z) B(z)
\\= - n [z^{2n}]
\left(\exp(2z)-\exp(z)\sum_{q=0}^n \frac{z^p}{q!}\right)
+ [z^{2n-1}]
\left(\exp(2z)-\exp(z)\sum_{q=0}^{n-1} \frac{z^p}{q!}\right)
\\ =
-n\frac{2^{2n}}{(2n)!}
n +\sum_{q=0}^n \frac{1}{p!}\frac{1}{(2n-p)!}
+ \frac{2^{2n-1}}{(2n-1)!}
-\sum_{q=0}^{n-1} \frac{1}{p!}\frac{1}{(2n-1-q)!}
\\ =
n\sum_{q=0}^n \frac{1}{p!}\frac{1}{(2n-p)!}
-\sum_{q=0}^{n-1} \frac{1}{p!}\frac{1}{(2n-1-q)!}
\\ =
\frac{n}{(2n)!} \sum_{q=0}^n {2n\elegir q}
- \frac{1}{(2n-1)!} \sum_{q=0}^{n-1} {2n-1\elegir q}
\\ =
\frac{n}{(2n)!} \left(2^{2n-1}+\frac{1}{2}{2n\elegir n}\right)
- \frac{1}{(2n-1)!} 2^{2n-2}
\\ =
\frac{2^{2n-2}}{(2n-1)!}
+ \frac{n}{2} \frac{1}{(2n)!} {2n\elegir n}
- \frac{1}{(2n-1)!} 2^{2n-2}
= \frac{n}{2} \frac{1}{(n!)^2}.$$
El resultado final es que
$$n! \times n! \times [z^n] A(z) B(z)
= n! \times n! \times \frac{n}{2} \frac{1}{(n!)^2}
= \frac{n}{2}$$
como se reivindica. QED.
