Si$a,b \in$ group$G$% tal que$a^2=e, a*b^4*a=b^7$, pruebe que$b^{33}=e$

Question

$e$ es la identidad del grupo.

Entiendo que para demostrar que$b^{33}=e$ es lo mismo que probar$b^{34}=b$

Ahora, $a * b^4 * a=b^7$

$\Rightarrow b^4= a*b^7*a=(a*b*a)^7$

Esto es lo lejos que fui. Estoy atorado aqui. Por favor ayuda.

Answer 1

Para cualquier número entero $n$ tenemos $$(ab^4a)^n=b^{7n}$ $ o $ de $$ab^{4n}a=b^{7n}$ $n=4$, $$ab^{16}a=b^{28}$ $ y $n=7$, $$ab^{28}a=b^{49}$ $ por tanto $$b^{16}=b^{49}$ $

EDIT: Con la misma técnica, puede ser demostrado eso si $a^2=e$ y $ab^r=b^sa$ y $b^{r^2}=b^{s^2}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que\begin{align} (aba^{-1})^4&=b^7\text{, and }\ b^4&=(aba^{-1})^7\nonumber\ (aba^{-1})^7&=b^4. \text{So 'dividing' the first equality by the last,}\ (aba^{-1})^{-3}&=b^{3}. \text{ Multiplying it with the first equality,}\ aba^{-1}&=b^{10}\ (aba^{-1})^4&=b^{40}=b^7\ \text{So }b^{33}&=e \end {alinee el}